圏論とは (ケンロンとは) [単語記事]

圏（けん, 英:category）とは数学において対象とそれらの間の関係を表す射の集まりのことをいうが、圏論とはその圏に関する理論のことである。

集合論で言う集合や写像、それらの合成などの概念を包括的に扱い、一見するとまったく異なる数学的対象の背後に隠れた共通構造や一般的性質を考察するための強力な道具。しかしその分抽象度が高くとりつきにくい分野でもある。図式やグラフがやたらと出てきたり豊穣とか忠実とか充満とか聞きなれない単語も頻出する。

俯瞰的議論の強力な武器であるが、抽象論にこだわるあまり圏論研究者は群や位相空間など具体的な構造に落とし込んで議論することをおろそかにする傾向があるとか、一方で具体的な理論を研究する人には抽象的すぎて応用のし甲斐がないので毛嫌いされているとか色々あるらしい。両方を融合させるには並外れた頭脳が必要なので難しいことなのだろう。

概要

C が圏（category）であるとは、まず C の対象（obje ct）の集まり Ob(C) があって、その中から任意の2つの対象 A, B∈Ob(C) に対し射（morphi sm, あるいは矢印（arrow）または図式（map））と呼ばれる抽象的な関係性を考え、その射の集合 Hom_C(A, B) が定まる時、以下の公理を満たすものをいう。(Homはhomo morphi smの略)

(1) A≠A' または B≠B' のとき Hom_C(A, B)∩Hom_C(A', B')=∅ 。

(2) A, B, C∈Ob(C) に対し射の結合と呼ばれる写像

Hom_C(A, B)×Hom_C(B, C)	→	Hom_C(A, C)
(u, v)	↦	v∘u

が次の条件を満たす。

(2.a) 各対象 A∈Ob(C) に対し 1_A∈Hom_C(A, A) となる 1_A が存在し、 u∘1_A=u, 1_A∘v=v が任意の u∈Hom_C(A, B), v∈Hom_C(C, A) について成立する。

(2.b) 任意の u∈Hom_C(A, B), v∈Hom_C(B, C), w∈Hom_C(C, D) に対し w∘(v∘u)=(w∘v)∘u が成立する。

(1) は互いに素（mutially dis joint）、(2) は合成（comp os ition）、(2.a) の 1_A は恒等射（ide nt ity morphi sm）、(2.b) は結合律（assoc iat ive law）と呼ばれる。そして圏を用いて数学的構造や性質を研究する理論を圏論（category theory）と呼ぶ。

分かりやすくかみ砕いて言うと、以下の条件を満たすときにCは圏となる。

Cと名付けられたものがある。
Cには「対象」と呼ばれるものが付随する（集合とは限らない）。「対象」すべてを集めたものをOb(C)などと書く。
「対象」を重複を許して2回選択することができる。選んだ「対象」の組を(X,Y)とする。
この順序付きの「対象」の組(X,Y)に対し、集合が一つ対応する。これをHom_C(X,Y)と置く。Xをドメイン、Yをコドメインと呼ぶ。
Hom_C(X,Y)の各要素f, g, h, …は「射」と呼ばれ、以下の条件を満たす。
1. f∈Hom_C(W,X)、g∈Hom_C(X,Y)とすると、「射」の組(f,g)にHom_C(W,Y)のある要素hを対応させる規則∘：(f,g)→hが存在し、g∘f=hと書く。これを「合成」という。
2. Hom_C(X,X)の要素には必ず特別な「射」1_Xが一つだけ存在し、f∈Hom_C(W,X)、g∈Hom_C(X,Y)に対してf∘1_X=f、1_X∘g=gを満たす。1_Xを恒等射という。
3. 合成は結合法則を満たす。つまり、(h∘g)∘f=h∘(g∘f)

これらの関係は、理論が複雑になるほど込み入ってくるため、文章で書き下すことが難しくなる。そこで、対象と射の関係を可換図式と言う方向付きグラフで表現する。Hom_C(X,Y)が集合でないようなものはメタ圏と呼ばれるが、具体的な操作ができるので集合として考えた方が都合がいいことが多い。例えば圏論において重要な定理である米田の補題はHom_C(X,Y)が集合であること（局所小という）を前提としている。

この定義の何がいいかと言うと、恒等射の存在によって対象と恒等射を同一視することができ、各対象の構造を考えることなく射のみによって議論をすることができるようになる点である。例えば集合論では全射と単射の定義に集合の要素を用いるため2者が全然違うものに見えるが、圏論的な定義ならば全射と単射は互いに射を逆の方向にしたもの（双対）だとすぐにわかるようになる。

ある圏と別の圏を比較したい時がある。圏と圏を結ぶ写像のことを関手(func tor)という。また、関手と関手を比較したい時もある。関手と関手を結ぶ写像を自然変換(natural transformation)という。

Ob(C)はその性質から、集合より広いレベルの概念となり、クラス(cl ass)と呼ばれる。クラスは「全ての集合の集合」のような集合論では定義できないようなものも含むことができ、そのような場合は真のクラスという。Ob(C)が真のクラスではなく集合であるような場合は小さな圏という。真のクラスは集合として扱えないので、大きな圏には集合論的な操作を可能にする枠組みとして宇宙(universe)と呼ばれるものを導入する。宇宙は例えば集合論で考えられる操作全てを抽象化し、内部に包括するような概念である。宇宙はある数学系を構成する一つの世界といっても差し支えないだろう。宇宙際タイヒミュラー理論に代表される宇宙という言葉はこれのことを指す。

自然数

例として圏論で自然数を表現してみる。ここで、自然数は0から始まるものとする。

1+2=3という式を眺めてみる。

自然数は具体的な「対象」になるというイメージがある。であれば、足し算は対象を別の対象へ移す関数なので「射」ということになる。しかし、f:A→Bという射の書き方に+を当てはめると+:(1,2)→3ということになるので、ドメインとコドメインの構造が異なるということになってしまう。射は合成できるので、f:A→B、g:B→Cであり、g∘f:A→Cとなるが、1+2+3=6などをこの式にうまく当てはめる事ができない。

そこで、発想を転換してみる。+を射の合成∘に当てはめる。1+2+3=6　という式を、　p=h∘g∘f→(なにか)→(なにか)とみるのである。f=1、g=2、h=3、p=6、+を合成∘とするとうまくあてはまる。

つまり、自然数0,1,2,3…は「対象」ではなく「射」、+は「射」ではなく「射の合成」と考えるとよいのである。

では、上で（なにか）と書かれたものは対象であるが、「射」である自然数は何を何に移しているのであろうか。実は対象はなんでもいい。A,BあるいはXなどと置いてもいいし☆や♡などと置いてもいい。Hoｍ_C(☆,☆)を、自然数の集合Nと同一視するということだ。

圏論では具体的な構造を捨象し、その動きである射に注目するためである。☆は自然数によって☆自身に移されるとみればよい。各自然数は☆を☆に移すので自己同型写像だが、そのなかで0だけが単位律を満たすので0のみが恒等射である。つまり、1_☆=0。

また、掛け算×を考える。2×3=6などを見ると、やはり自然数は射、×は射の合成ということになる。この場合は恒等射は1となる。

この考え方はそのままモノイドや加群、モナドなどに応用することができる。

ただし、上記のように考えた場合そうなる、ということなので、例えば自然数を定義域、値域とした関数 f(x)=ax+bを用意し、g∘f(x)=g(f(x))を合成と考えれば、f,g,…が射、h(x)=xが恒等射、そのとき自然数全体の集まりは対象となる。

まとめ

上記の考え方において、自然数は対象ではなく射である。対象はなんでもよい（☆などと置く）。足し算＋は射の合成であり、恒等射は0。同様にして、掛け算×は射の合成であり、恒等射は1。

圏の例

集合の圏 Sets: Ob(Sets)は集合の集まり。X,Y∈Ob(C)は集合、射 Hom_C(X,Y) ∋ f: X→Yは集合の写像。射の合成g∘fは集合の写像の合成で1_Xは恒等写像。
群の圏 Groups: Ob(Groups)は群の集まり。X,Y∈Ob(Groups)は群、射 f: G→Hは群準同型写像、g∘fは群準同型写像の合成写像で1_Gは恒等写像。
アーベル群の圏 Ab: Ob(Ab)はアーベル群（加法群）の集まり。射および射の合成は群の圏と同様。群の性質から、Ob(Ab)⊂Ob(Groups)で、X,Y∈Ob(Ab)ならばHom_Ab(X,Y)=Hom_Groups(X,Y)である。
位相空間のなす圏 Top: Ob(Top)は位相空間の集まり。射 f: X→Yは連続写像。g∘fは連続写像の合成、1_Xは恒等写像。
圏Cの双対圏 C^∘: Ob(C)＝Ob(C^∘)で、Cの射 f: X→Yが存在する時、f^∘: Y→Xと定義したもの。
小さな圏の圏 Cat: Ob(Cat)は(小さな)圏、Hom_cat(X,Y)は関手。射の合成は関手の合成、恒等射は自己恒等関手。
関手圏 D^C: 対象は圏Cから圏Dへの関手、射は自然変換。射の合成は自然変換の合成、恒等射は恒等自然変換。
しりとりの圏 Shir itori^[1]: 対象をひらがな文字 {ぁ, あ, ぃ, い, ..., ん, ー} とし、ひらがなXからひらがなYへの射を、Xで始まりYで終わるひらがな文字列とする。たとえば "にこにこ" ∈ Hom_Shiritori(に,こ) である。このとき文字列は必ずしも意味を持たなくてよい（ "もぴょほわう" ∈ Hom_Shiritori(も, う) とかもOK）。射の合成は "りんご"∘"ごりら" = "りんごりら" のように行う。恒等射は 1_あ="あ" など。これは自由圏の一例である。
ニコニコ大百科: 他にも、このニコニコ大百科も圏になっている。この場合, 各々の記事が対象で, リンクが射となる。（外部へのリンク・・・見なかったことにしよう。(大百科ではなくWebを圏としたり、圏の中に別の圏があるとしたり。)
プログラム言語: プログラミングにおいては「型」が対象で、関数(メソッド)が射、何もしない関数が恒等射ということになる。Haskellが圏論を骨組みに持つ言語として有名。その他にJavaも圏論的解釈が可能であり、Hask圏とJava圏の間の写像「関手」も定義できる模様。
現実世界（交通網）: より具体的なイメージの例として, 例えば首都圏というものを考えてみよう。この場合、街や駅が対象で、交通手段が射となる。