数列の極限

数列の極限とは、数列の項が最終的に近づく値である。

あくまで近づくだけでその数になることはない。

概要

a₁, a₂, a₃,⋯,a_n, ⋯ のように項が限りなく続く数列を無限数列といい，記号 {aｎ} で表す。

例えば数列｛1/n｝の場合「１,1/2,1/3.1/4…1/n…」となり、ｎの値を大きくしていくと第ｎ項の1/nは限りなく０に近づく。

数列 {aｎ} において，nを限りなく大きくすると｛aｎ｝が一定の値αに限りなく近づくとき，数列 {aｎ} は αに収束するといいαを数列 {aｎ} の 極限値と言う。

このことをlim(n→∞)｛an}=αと表される。

無限に大きくなる場合はlim(n→∞)｛an}=∞と表記し、無限に小さくなる場合はlim(n→∞)｛an}=-∞と表記する。なお、振動する場合は、このようなうまい表記は存在しない。

詳細

まず、一定の値に近づく、というのはどういうことなのか。それを厳密に定義すると以下の通り。

∀ε>0∃N≥1∀n≥N∣a_n-α∣<ε

この時、{a_n}はαに収束するという。簡単にいうと、

• どんなに0に近いεを持ってきても
• そのNより大きいnにおいて、必ずαとの差がεより小さくなるようなNが存在する

ということである。例えば、先ほどの数列であれば、N=⌈1/ε⌉+1と取れば良い。

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