フェルマーの最終定理とは (フェルマーノサイシュウテイリとは) [単語記事]

フェルマーの最終定理とは, 数学の定理である.

概要

定理の主張は非常に簡単であり、

「方程式 xⁿ+yⁿ=zⁿ が n≧3 の場合、 x,y,zは0でない自然数の解を持たない」

というものである。

歴史上最初に現れたのは17世紀にフランスの数学者フェルマーがディオファントスの「算術」に書き込んだ余白においてであり、加えて「私はこの定理について真に驚くべき証明を発見したが、ここに記すには余白が狭すぎる」とのコメントが記してあった.

前述の「算術」の余白には他にも様々な定理が証明無しで記してあり、彼が死んだ後、遺品を整理していた遺族によって発見され出版された。その後何人もの数学者によってそれらの定理の証明が与えられていき、最後に残ったのがこの定理である。そのためフェルマーの「最終」定理と呼ばれるようになった(この時点では未証明だったので「フェルマー予想」と呼ばれることもあった)。

余白に書かれた他の定理と比べて証明が非常に難しく、証明されるまで350年以上の歳月を必要とした。証明したのはイギリスの数学者、ワイルズである。このため現在ではワイルズの定理あるいはフェルマー・ワイルズの定理と呼ばれる。なお、ワイルズの証明は、フェルマーの時代にはまだ発見されてない定理などが特盛である。

ちなみに n=2 の場合に等式が成り立つ条件について述べたのは所謂ピタゴラスの定理である。

（かなり端折った）証明の歴史

フェルマー　「なんか発見したけど解法は教えてやんないよ。」

オイラー　「n=3は解けた！」
ソフィ・ジェルマン　「n=5も(ry」
ディリクレ　「14(ry」

～中略～

クンマー　「100以下は全部いけたぜ。」（一個一個やってたら終わらないだろ常考、こういうのはまとめてやるんだよ。）

～中略～

※フェルマーの最終定理の式は、楕円曲線（yの二次式=xの三次式と表せる曲線）に変形できる。

谷山＆志村　「全ての楕円曲線はモジュラー形式だと思う。」　※証明はできず（谷山・志村予想）

フライ＆セール　「フェルマーの最終定理の式に解があるとして楕円曲線作ったらモジュラーじゃないんだが。」
（フライ・セール予想）

ケン・リベット　「フライさんの予想は正しいよ。」

あれ？矛盾してね？　→　谷山・志村予想が正しければ、フェルマーの最終定理も正しい。

ワイルズ　「谷山・志村予想の一部（最終定理の証明に必要な部分）が証明できた！」
→フェルマーの最終定理の証明が出来たこととなる。

余談だが、ワイルズが数学者になった理由は、フェルマーの最終定理に憧れたからである。