フェルマーの最終定理

フェルマーの最終定理とは、数学の定理である。

概要

定理の主張は非常に簡単であり、

「方程式 xⁿ+yⁿ=zⁿ が n≧3 の場合、 x,y,zは0でない自然数の解を持たない」

というものである。

この定理が産声を上げたのは17世紀。フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーが、彼の愛読書である『算術』の余白に書き込んだメモがきっかけである。 さらに、

私はこの定理について真に驚くべき証明を発見したが、ここに記すには余白が狭すぎる。

とのコメントが記してあった。まるで誰かがそのメモを見ることを予想していたかのように。

『算術』の余白には他にも様々な定理が証明無しで記してあり、彼の死後、遺品を整理していた遺族によって発見され再販された。その後、何人もの数学者によってそれらの定理に証明が与えられていったが、最後まで残ってしまったのがこの定理である。証明は困難を極め、いつしかこの定理はフェルマーの「最終」定理と呼ばれるようになった（この時点では未証明だったので「フェルマー予想」と呼ばれることもあった）。

この定理が証明されるまでに、実に350年以上もの歳月を必要とした。

証明したのはイギリスの数学者、アンドリュー・ワイルズである。この為、現在ではワイルズの定理、あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれる。ワイルズはフェルマー以降に発見された定理や、当時最新の定理を用いてこの難題に対抗。350年もの長い間、多くの数学者を悩ませ続けてきたモンスターも、1995年にようやく沈黙したのである。

ちなみに“n=2”の場合に等式が成り立つ条件について述べたのは、所謂ピタゴラスの定理である。

（かなり端折った）証明の歴史

全ての元凶 フェルマー 「なんか発見したけど解法は教えてやんないよ。全てを記すには余白が狭すぎる」

＜約100年後＞

レオンハルト・オイラー 「n=4、n=3は解けた！（n=4にはフェルマーのヒント使ったけどね）」

＜約半世紀後＞

ソフィ・ジェルマン 「nが素数だった時のフェルマーの最終予想の性質を調べてみた」
ペーター・グスタフ・ディリクレ＆アドリアン・マリー・ルジャンド 「なるほど。コレを使ってn=5、n=14も(ry」 
エルンスト・クンマー 「100以下の素数は全部おｋ（こういうのはまとめて計算するんだよ数弱乙）」

＜1900年代＞

谷山豊＆志村五郎　「そんなことより、全ての楕円曲線はモジュラー形式だと思うんだが」（谷山・志村予想）
※フェルマーの最終予想の式は、楕円曲線（yの二次式=xの三次式と表せる曲線）に変形できる。

ゲルハルト・フライ 「フェルマーの最終予想の式に整数解があると仮定して楕円曲線作ったらモジュラーじゃないんだが」
ジャン・ピエール・セール 「その発想はなかった。あと凡ミスあったから修正しとく」（フライ・セール予想）

ケン・リベット 「バリー・メイザーにヒントもらった。フライさんの予想は正しいよ」

※フェルマーの最終予想は「0でない自然数の解を持たない」＝谷山・志村予想は「全ての楕円曲線はモジュラー形式」。
フェルマーの最終定理が自然数の解を持ったら楕円曲線がモジュラーじゃなくなった…あれ？

つまり、谷山・志村予想が正しいと証明出来れば、フェルマーの最終定理も証明出来るのだ。

アンドリュー・ワイルズ 「ガロア理論、岩澤理論、コリヴァギン・フラッハ法。良い理論だな。少し借りるぞ」

そして、証明完了。

…余談だが、ワイルズが数学者になった理由は、フェルマーの最終定理に憧れたからである。 

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関連項目

• 数学
• フェルマー
• 余白が狭すぎる
• ブルマーの最終定理
• なるほど、わからん