多様体

多様体とは, 滑らかな平面曲線や, 空間曲線や, 閉曲面を一般化した概念である.

概要

位相空間 M の開集合の族 {U_α} と, 各 U_α から R^s への写像 φ_α が与えられていて, 次の条件 (i)～(iii) を満たしているとする.

(i) {U_α} は M の開被覆である; i.e. M=∪ U_α (for α)
(ii) 各 φ_α ： U_α → Rⁿ の像 φ_α (U_α) は開集合であって, φ_α は U_α から φ_α (U_α) の上への同相写像である.
(iii) U_α ∩ U_β= Φ となる α, β に対しては,

φ_β○φ_α^-1 ：φ_α(U_α ∩ U_β) → φ_β(U_α ∩ U_β) (⊂Rⁿ)

は Rⁿ の開集合 φ_α(U_α ∩ U_β) からの C^r 写像(1≦r≦ω)である.

多様体を噛み砕いて言うと

まずは地球と世界地図を思い浮かべてみよう. 地球は球形(正確にはほぼ回転楕円体)なので, そのまま一枚の平面に正確に地球全体を描くことは出来ない. 地球全体を一枚の図に表すためにはどこかを切り離さなければならない. より精密な情報が必要な場合, その代わり, 世界をいくつかの部分に分け, それを何枚もの地図に表し, 地図帳を作る.

何枚かの局所的な地図で大域的な空間を表現しようというのが多様体の発想と言える.

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関連項目

• 幾何学