引き算

引き算とは、以下の事を指す。

1. 足し算の逆の計算。加減乗除の減だが、加法と違いあまり減法とは言わず減算と言うことが多い。
2. なにかからある要素を省くこと。いい要素であってもなんでもかんでも盛ればよいというわけではないことのたとえ。
3. 村下考蔵の楽曲「引き算」。

1について解説する。

概要

ここでは自然数に0を含めることとする。

引き算は足し算の逆の演算であるが、ペアノによると以下のように定義されている。

「a,bに対しあるxが存在し、x+a=bを満たすようなx」を求める演算を引き算b-aとする。

具体的な例題を考えるとわかりやすい。

2に何を足したら5になりますか？

2+□=5

□を求める計算として以下の式を置くおくことができる。

□=5-2

我々は2に3を足したら5になると経験的に知っている。3=5-2という答えを得る。5を引かれる数、2を引く数という。■

「引き算は逆元を足す演算である」と説明されることもあるが、足し算を定義できる集合であっても必ずしも逆元が存在するとは限らない。逆元の存在に陽に触れることなく引き算を定義するなら上記のような回りくどい表現にならざるを得ない。
自然数に自然数を足せば必ず自然数になるが、自然数から自然数を引いたら自然数にならないことがある。足し算で閉じた集合に対して引き算を定義した場合、引き算で閉じた集合にならないことがある。
上記例で言えば、自然数に限定したとき、2の逆元である-2は自然数に含まれないので、引き算するかわりに逆元を足すことはできない。

かつて負の数という概念がが存在しなかった時代は、3-5の答えは「存在しない」、「0」、「計算不能」などバラバラであったという。

やや難しい話

引き算は足し算と違い、以下の法則を満たさない。

• 結合法則。　(a-b)-c≠a-(b-c)
• 交換法則。　a-b≠b-a

一方で、以下の法則は満たす。

• 右単位元の存在。　全てのaに対し、a-0=aとなる数0がある。左単位元は存在しない。
• 分配法則。　　a×(b-c)=a×b-a×c

足し算はその演算だけを考えると可換モノイドであるが、実数においては掛け算も可換モノイドであるため、可換モノイドをあえて足し算、加法と呼ぶときは暗に掛け算、乗法の存在を想定していると考えてよい。

足し算（と掛け算）を定義した集合は半環と呼ばれる。全ての元に対して必ず引き算ができる半環を環と呼ぶ。

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関連項目

• 算数
• 数学
• 代数
• 足し算、掛け算
• 群(数学)
• 環(数学)