指数関数

指数関数とは、累乗の概念を自然数より広い範囲に拡張し、指数を変数にした関数である。

概要

正の数aから始めて、次々にa倍した数を書き並べるとしよう。n個目に書かれているのはaⁿとなるね。それはnが増えるにつれて、a>1ならどんどん大きくなり、a = 1なら1のまま、a<1なら0に向かって小さくなっていく。そこで、指数を自然数に限定しなくてもこの関係が成り立つのでは?と考える。そこから出てくるのが指数関数につながるわけだ。

指数の拡張

一般のxについて、指数法則が成り立ち、かつ概要に書いた大小関係が成り立つようにa^xを定める。

a⁰

指数法則により、a⁰a = a⁰a¹ = a⁰⁺¹ = a¹ = a
a≠0より、両辺をaで割って、a⁰ = 1

ちなみにこれは、大小関係を除けばa<0のときにも成り立つ。0⁰は定義されないが、便宜的に1とすることがある。

a^-n

nを自然数とする。
指数法則により、aⁿa^-n = a^n-n = a⁰ = 1
aⁿ≠0より、両辺をaⁿで割って、a^-n = 1/aⁿ

ちなみにこれは、大小関係を除けばa<0のときにも成り立つ。0^-nは定義されないが、便宜的に∞とすることがある。

a^m/n

m,nを整数とし、n>0とする。
指数法則により、(a^1/n)ⁿ = a^n/n = a¹ = a
よって、a^1/nは、aのn乗根である。その中で正の実数となるものが必ず唯一つ存在する。大小関係を保つのはその正の実数値のみである。
指数法則により、a^m/n = (a ^m)^1/n = ⁿ√a^m

ちなみにこれは、a<0のときは成り立たない。負の数の偶数乗根は実数の範囲に存在しないからである。0のn乗根は0しかないので、0^1/n = 0が成り立ち、m>0のとき、0^m/n = 0である。m≦0のときは0⁰,0^-n同様定義されない。

a^x

xを一般の実数としたとき、これに限りなく近づく有理数列を考える。それを指数とする数列を作れば、それはある値に限りなく近づく。それをa^xとする。

ちなみに、x>0のとき、0^x = 0である。なぜなら、xに十分近い有理数は正の値をとり、それを指数とするとすべて0になるからである。

指数関数

指数を実数まで拡張できたので、実数を定義域とする関数a^xを定義できる。ここで、aを底という。a = 1のときは定数関数となるため、除外して考えることが多い。グラフは必ず(0,1)を通り、下に凸な曲線となる。a>1なら単調増加、a<1なら単調減少である。xを0から遠ざけると、一方は0に近づき、他方はものすごい勢いで大きくなる。その増え方は、xが0より遠ざかるごとに勢いを増し、いかなる多項式関数をも凌駕する。x軸が漸近線である。

e^x

指数関数の中でも特に重要なのが、ネイピア数を底とするものである。単に「指数関数」といった場合にこれを指すこともある。exp(x)とも書く。この関数は、微分しても変化しない。つまり、(e^x)' = e^xが成り立つ。これは非常に有用性が高く、様々な分野で応用されている。また、この関数は後述するオイラーの公式にも登場する。

オイラーの公式

指数関数と三角関数を虚数単位によって結びつけた式。

e^ix = cosx+isinx

これを導き出す過程で、微分が重要な役割を担っている。これにより、eの虚数乗を定義することができる。

複素関数としての指数関数

底がeの場合

底がeのとき、指数を複素数まで拡張することができる。オイラーの公式と指数法則を用いて、

e^x+iy = e^xe^iy = e^x(cosy+isiny)

と表せる。ちなみに、ここでのx,yは実数である必要はない。

底がaの場合

※xの自然対数をlogxと表す。

まず、a^xをe^tの形で表す。e^t = a^xとすると、t = loga^x = xlogaなので、a^x = e^xlogaが成り立つ。あとは底がeの場合と同様。ちなみに、ここでのaはa>0に限らず、0でない複素数であればよい。複素数の自然対数の求め方は、対数の項目を参照。複素数の自然対数は複数の値をとるので、a^xもまた然り。

関連項目

• 数学
• 関数
• 三角関数
• 対数関数