累乗根とは (ルイジョウコンとは) [単語記事]

累乗根とは、累乗の逆の計算。羃根とも呼ぶ。

概要

累乗根は累乗の逆の演算であるが、以下のように定義されている。

「a,bに対しあるxが存在し、x^a=bを満たす」ようなxを求める演算を累乗根^a√bとする。

具体的な例題を考えるとわかりやすい。

何を3乗したら8になりますか？

□^3=8

□を求める計算として以下の式を置くことができる。

□=³√8

我々は2を3乗したら8になると経験的に知っている。2=³√8という答えを得る。

8を被開方数、3を次数という。

なお、次数が2になる場合は次数が省略される。次数が2の場合を特に平方根とも言う。また、次数が3の場合を特に立方根とも言う。

形は分数と少しだけ似ており、2√3のような帯分数の形に表記することもある。

筆算としては開平法、開立法などがある。理論上は、開四法なども作れると思われる。

以上おしまい…といいたい所だが、実は3乗すると8になる数は2、2ω、2ω²の3つある(ω=(1+i√3)/2)。

一般に、複素数cのn乗根はn個あり、そのうちの一つを代表としてcのn乗根とする。つまり、c=|c|(cosθ+isinθ)とすると、値は|ⁿ√c|(cos(θ/n+2πk/n)+isin(θ/n+2πk/n))となり(kはn未満の自然数)、そのうちk=0のものを代表とし、ⁿ√cとするのである。

他の例として、1の平方根は1と-1の二つあり、進角の小さい1(進角0度)を√1とし、-1(進角180度)は√1とせず-√1と表記する。また、-1の平方根は絶対値1で進角90度のものと絶対値1で進角270度のものがあり、前者をi、後者を-iと表記する。

このように、一つの値に対して複数の値を返す関数を多価関数と呼び、扱いには注意を要する。