体(数学)とは (タイとは) [単語記事]

体(数学)とは、以下に述べる数学的構造を持つ集合である。群と環の記事も合わせて読むことを勧める。

体は特別な環であり、簡単にいえば+,-,×,÷を使った四則演算が問題なく行える集合である。

以下、整数の集合をZ,有理数の集合をQ、実数の集合をR、複素数の集合をCとする。

概要

体とは、+と×の2種類の二項演算を持つ集合であり、それぞれの間に以下の関係を持つ。

加法+に関して可換群である。

零元を除いた集合が乗法に関して群になる。

分配法則　a×(b+c)=a×b+a×c、(a+b)×c＝a×c+b×c

通常は+の単位元を0、×の単位元を1と書く。和の単位元は通常零元と呼ぶ。また、積の記号×を省略することが多い。

この条件からは分かりにくいが、0（零元）以外の全ての元が必ず積に関する逆元をもつ。

通常の体は0≠1であるが、0=1とした場合は必ず1元からなる集合{0}となる。これを自明な体というが、0の逆元の存在を認めることになるので普通は体から除外する。

環とは異なり、普通は体と書けば可換な体を指し、非可換な体は斜体と呼ぶ。

Q,R,Cは体である。また、QはRの、RはCの部分体である。また、Qはそれ以上小さな体を持たない。有理数は最も基本的な体である。
Zは体ではない。{1,-1}以外に逆元を持たないためである。
整数Zを7で割ったあまりで分類した集合は体になる。集合の要素は{[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]}であり、[2]の逆元は[4], [3]の逆元は[5], [6]の逆元は[6]自身である。