体(数学)

体(数学)とは、以下に述べる数学的構造を持つ集合である。群と環の記事も合わせて読むことを勧める。

体は特別な環であり、簡単にいえば+,-,×,÷を使った四則演算がゼロ除算を除き問題なく行える集合である。

以下、整数の集合をZ,有理数の集合をQ、実数の集合をR、複素数の集合をCとする。

概要

体とは、加法+と乗法×の2種類の二項演算を持つ集合であり、それぞれの間に以下の関係を持つ。

• 加法+に関して可換群である。
• 零元を除いた集合が乗法に関して群になる。
• 分配法則　a×(b+c)=a×b+a×c、(a+b)×c＝a×c+b×c

通常は加法の単位元を0、乗法の単位元を1と書く。積の単位元を体の単位元とし、加法の単位元を零元と呼ぶ。また、積の記号×を省略することが多い。

この条件からは分かりにくいが、0（零元）以外の全ての元が必ず積に関する逆元をもつ。

通常の体は0≠1であるが、0=1とした場合は必ず1元からなる集合{0}となる。これを自明な体というが、0の逆元の存在を認めることになるので普通は体から除外する。

環とは異なり、普通は体と書けば可換な体を指し、非可換な体は斜体と呼ぶ。以下、特に断りがない場合は可換な体について記述する。ただし環に関する知識を前提とする。

体の例

• Q,R,Cは体である。また、QはRの、RはCの部分体である。また、Qはそれ以上小さな体を部分集合として持たない。有理数は最も基本的な体である。
• Zは{1,-1}以外に逆元を持たないため体ではない。
• p進体。pを素数とし、非負整数をpのベキの和で表したものをp進数という。このp進数にp進付値と呼ばれる距離（のようなもの）を導入し完備化したものがp進体である。
• 整数を7で割ったあまりで分類した集合Z/7Zは体になる。集合の要素は{[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]}であり、[2]の逆元は[4], [3]の逆元は[5], [6]の逆元は[6]自身である。
• 一般に、整数を素数pで割ったあまりで分類した集合Z/pZは体になる。これは元の数が有限である体なので有限体という。
• 体Kを係数とする多項式環K[X]を考える。既約多項式f(X)∈K[X]による商環K[X]/(f(X))={多項式g(X)をf(X)で割ったあまり}は体になる。f(X)が既約でない場合は体にならない。
• 有理数体Qに√2を加えた集合Q(√2)={a+b√2｜a,b∈Q}は体となる。これはQの拡大体とよぶ。

体の論理的構造

整域から商体を構成

以下の手順より、整数Zから有理数体Qを構成することができる。

有理数は2つの整数の組(a,b)（ただしb≠0）を考え、「ad=bcならば(a,b)~(c,d)」の同値関係を導入して、(a,b)の同値類をa/bと表記し類別したものである。
たとえば(1,2)~(2,4)~(3,6)~(4,8)…、1/2={(1,2), (2,4), (3,6), (4,8),…}。
和は(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)、積は(a,b)×(c,d)=(ac,bd)で定義される。単位元は1/1、零元は0/1。簡単な計算からこれが体になることが確認できる。ただしa/1はaと表記しなおす。

同様の手順を踏むことで、一般の整域Aから商体Q(A)=A×A/(~)を構成することができる。

整域Aに対してa,b≠0∈Aの組(a,b)∈A×Aを考える。「ad=bcならば(a,b)~(c,d)」の同値関係を導入することで、(a,b)の同値類をa/bと表記できる。和と積の構成も同様。簡単な計算から剰余環A×A/(~)＝Q(A)が体になることが確認できる。Q(A)の部分環A^*={x/1｜x∈A}はA={x｜x∈A}と環同型なので、x/1をxと同一視し、x/1を改めてxと表記しなおす。こうすることでA⊂Q(A)となる。

• 整域と限定した理由は、一般の環ではb≠0,d≠0であってもbd=0となりゼロ除算になる可能性があるためである。
• 同値類による類別というと難しく感じるが、要するに約分して同じ元になるものは同じ元とみなす、一番約分できているものを標準とする、ということである。

例：体K上の多項式環K[x]から構成された商体K(x)={f(x)/g(x)｜f(x),g(x)∈K[x]、g(x)≠0}。

体の拡大

体Kが体Fを部分集合に持ち、Kの演算についてFが閉じているとき、FをKの部分体と呼び、逆にKをFの拡大体と呼ぶ。このとき、体の拡大K/Fという言い方をする。

KをFの拡大体とする。a∈Kに対し、Fとaを含む最小の体をF(a)と書く。F(a)={x+ay｜x,y∈F,a∈K}である。同様に、Fとa₁,a₂,…,a_nを含む最小の体はF(a₁,a₂,…,a_n)={x₀+x₁a₁,x₂a₂,…,x_na_n｜x_i∈F,a_i∈K}。n=1のときは単項拡大、n>1のときは(n+1)次拡大という。

例：CはRの拡大体。C={a+bi｜a,b∈R}なのでC=R(i)で二次拡大。

例：Q(√2)={a+b√2｜a,b∈Q}とするとこれはQの二次拡大となる。

関連項目

• 数学
• 数学関連用語の一覧
• 群(数学)
• 環(数学)
• 有理数
• 実数
• 複素数