体(数学)

体(数学)とは、以下に述べる数学的構造を持つ集合である。群と環の記事も合わせて読むことを勧める。

体は特別な環であり、簡単にいえば+,-,×,÷を使った四則演算がゼロ除算を除き問題なく行える集合である。体そのものの定義はシンプルであるが、その背後には、代数方程式の解となる実数の分析や作図の可能性、ガロア群の存在といった豊かな理論が存在する。

以下、整数の集合をZ,有理数の集合をQ、実数の集合をR、複素数の集合をCとする。

概要

体とは、加法+と乗法×の2種類の二項演算を持つ集合であり、それぞれの間に以下の関係を持つ。

• 加法+に関して可換群である。
• 零元を除いた集合が乗法に関して群になる。
• 分配法則　a×(b+c)=a×b+a×c、(a+b)×c＝a×c+b×c

通常は加法の単位元を0、乗法の単位元を1と書く。積の単位元を体の単位元とし、加法の単位元を零元と呼ぶ。また、積の記号×を省略することが多い。

この条件からは分かりにくいが、0（零元）以外の全ての元が必ず積に関する逆元をもつ。

通常の体は0≠1であるが、0=1とした場合は必ず1元からなる集合{0}となる。これを自明な体というが、0の逆元の存在を認めることになるので普通は体から除外する。

環とは異なり、普通は体と書けば可換な体を指し、非可換な体は斜体と呼ぶ。以下、特に断りがない場合は可換な体について記述する。

体の例

• Q,R,Cは体である。また、QはRの、RはCの部分体である。また、Qはそれ以上小さな体を部分集合として持たない。有理数は最も基本的な体である。
• Zは{1,-1}以外に逆元を持たないため体ではない。
• p進体。pを素数とし、非負整数をpのベキの和で表したものをp進数という。このp進数にp進付値と呼ばれる距離（のようなもの）を導入し完備化したものがp進体である。
• 整数を7で割ったあまりで分類した集合Z/7Zは体になる。集合の要素は{[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]}であり、[2]の逆元は[4], [3]の逆元は[5], [6]の逆元は[6]自身である。
• 一般に、整数を素数pで割ったあまりで分類した集合Z/pZは体になる。これは元の数が有限である体なので有限体という。
• 体Kを係数とする多項式環K[X]を考える。既約多項式f(X)∈K[X]による商環K[X]/(f(X))={多項式g(X)をf(X)で割ったあまり}は体になる。f(X)が既約でない場合は体にならない。
• 有理数体Qに√2を加えた集合Q(√2)={a+b√2｜a,b∈Q}は体となる。これはQの拡大体とよぶ。

体の論理的構造

整域から商体を構成する方法

以下の手順より、整数Zから有理数体Qを構成することができる。

有理数は2つの整数の組(a,b)（ただしb≠0）を考え、「ad=bcならば(a,b)~(c,d)」の同値関係を導入して、(a,b)の同値類をa/bと表記し類別したものである。
たとえば(1,2)~(2,4)~(3,6)~(4,8)…、1/2={(1,2), (2,4), (3,6), (4,8),…}。
和は(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)、積は(a,b)×(c,d)=(ac,bd)で定義される。単位元は1/1、零元は0/1。簡単な計算からこれが体になることが確認できる。ただしa/1はaと表記しなおす。

同様の手順を踏むことで、一般の整域Aから商体Q(A)=A×A/(~)を構成することができる。

整域Aに対してa,b≠0∈Aの組(a,b)∈A×Aを考える。「ad=bcならば(a,b)~(c,d)」の同値関係を導入することで、(a,b)の同値類をa/bと表記できる。和と積の構成も同様。簡単な計算から剰余環A×A/(~)＝Q(A)が体になることが確認できる。Q(A)の部分環A^*={x/1｜x∈A}はA={x｜x∈A}と環同型なので、x/1をxと同一視し、x/1を改めてxと表記しなおす。こうすることでA⊂Q(A)となる。

• 整域と限定した理由は、一般の環ではb≠0,d≠0であってもbd=0となりゼロ除算になる可能性があるためである。
• 同値類による類別というと難しく感じるが、要するに約分して同じ形になるものは同じ元とみなす、一番約分できているものを標準とする、ということである。

体Kが整域Aを含んでいれば、Kは商体Q(A)を部分体として含む。

例：体K上の多項式環K[x]から構成された商体K(x)={f(x)/g(x)｜f(x),g(x)∈K[x]、g(x)≠0}。f(x)/g(x)の形であらわされるものを有理式といい、商体K(x)を有理関数体という。多項式環の元f(x)がxと係数の和、差と積で生成できるので、有理式はxと係数の加減乗除で生成できる。

体の拡大

体Kが体kを部分集合に持ち、Kの演算についてkが閉じているとき、kをKの部分体と呼び、逆にKをkの拡大体と呼ぶ。このとき、体の拡大K/kという事がある。

Kをkの拡大体とする。a∈Kに対し、体ｋと元aを含む最小の体をk(a)と書く。aが部分体kに含まれていない場合、k(a)の元はaと係数の加減乗除で生成できる。したがって、k(a)の元は有理式f(x)/g(x)にaを代入した形であらわすことができる。

つまり、k(a)={f(a)/g(x)｜f(x), g(x)∈k[x], g(x)≠0, a∈K}。これを単項拡大、単項拡大の生成元aを原始元という。体k(a)は環k[a]の商体に同型。

例：C={a+bi｜a,b∈R}なのでCはRの拡大体。

例：Q(√2)={a+b√2｜a,b∈Q}とするとこれはQの拡大体となる。(a+b√2)/(c+d√2)の形の元は有理化をすることでa'+b'√2の形に直すことができる。

体Kはk上のベクトル空間と考えることができる。Kのk-ベクトル空間としての次元を拡大次数といい、[K:k]であらわす。[K:k]が有限の時、有限拡大という。

例：{1,i}を基底ベクトルと見ることができるので、[C:R]=2。

例：{1,√2}を基底ベクトルと見ることができるので、[Q(√2)：Q]=2

変数が複数の時も同様に定義され、k(a₁,a₂, …, a_n)={f(a₁,a₂, …, a_n)/g(a₁,a₂, …, a_n)｜f,g⊂k[x₁,x₂, …, x_n]、g≠0}となる。

超越的、代数的

体kの拡大がk上の多項式環k[x]によりどのように分類されるかを確認する。

準同型写像φ：k[X]→K、φ(f(x))=f(a)とする。つまりφは体k上の多項式f(x)にaを代入する写像。環準同型定理により、Im(φ)=k[a]≅k[x]/Ker(φ)である。

Ker(φ)はf(a)=0となる多項式の集合であるが、これが(0)か(0)でないかでaが分類される。

• f(a)=0、f(x)∈k[x]となる多項式が存在しない時、aをk上超越的という。
• aがk上超越的であるとき、k(a)は有理関数体k(x)と同型で[k(a):k]=∞
• f(a)=0、f(x)∈k[x]となる多項式が存在する時、aをk上代数的という。
• aがk上代数的であるとき、Ker(φ)=(f(x))となる多項式f(x)が定数倍を除いて一通りに決まる。これを最小多項式といい、Irr_k(a)と書く。
• Kの任意の元がk上代数的であるとき、Kはkの代数拡大であるという。このとき、[k(a):k]=deg(f(x))

例：ネイピア数e、円周率πはQ上超越的である。Q上超越的な複素数を超越数と呼ぶ。つまり、超越数は有理数係数方程式f(x)=0の解にはならない数である。

例：√2、³√5、1のn乗根などはQ上代数的である。

例：k=Q、a=√2の時、Irr_k(a)=x²-2。

k[a]≅k[x]/Ker(φ)でありk[x]は単項イデアル整域なので、K/kが代数拡大のときKer(φ)=(f(x))≠(0)かつ(f(x))は極大イデアル。したがって、最小多項式はk上既約。また、体の拡大K/kが代数的拡大であるとき、次の条件は同値。

• aはk上代数的。
• 環k[a]は体。つまり、環k[a]=体k(a)。

f(x)∈Irr_k(a)、deg(f(x))=n、h(x)∈k[x]とすると,k[x]はユークリッド整域なのでh(x)=q(x)f(x)+r(x) =q(x)f(x)+Σ_k=0^n-1b_kx^k、deg(r(x))<nと置ける。従って、k[a]の元h(a)はa^kの線形結合であらわされる。以上より、aがk上代数的であるとき、[k(a):k]=deg(Irr_k(a))=nで、{1,a,a²,…,a^n-1}が基底となる。また、k⊂K⊂Lが代数拡大の時、[L:k]=[L:K][K:k]。これを連鎖律という。ここから、代数拡大の代数拡大は代数拡大であるということがわかる。

例：k=Qとする。a=√2+√3のとき、移項して二乗　(a-√2)²=a²-2a√2+2=3、移項して二乗　8a²=(a²-1)²、a⁴-10a²+1=0が得られる。したがってx⁴-10x²+1がQ[x]で既約ならIrr_Q(a)=x⁴-10x²+1が言える。一方、a²-2a√2+2=3なので、√2=(a²-1)/2a∈Q(a)、√3=a-(a²-1)/2a∈Q(a)。したがって、Q⊂Q(√2)⊂Q(√2+√3)=Q(√2,√3)。
連鎖率を使うと、[Q(a):Q]=[Q(√2,√3):Q(√2)]×[Q(√2):Q]=2×2=4。
x⁴-10x²+1が可約であるとするとdeg(x⁴-10x²+1)<4となるが矛盾なので可約ではない。したがって既約であり、Irr_Q(a)=4-10x²+1。
以上より、Q(a)=Q(√2,√3)、Q(a)はQの4次の代数拡大である。

代数閉体

次の同値な条件を持つ体Kを代数閉体、あるいは代数的閉体という。

• 定数関数ではない任意のf∈K[x]に対し、f(a)=0となるaが少なくとも一つ存在する。
• 任意のf(x)∈K(x)は一次式の積に分解される。
• Kを真に含む代数拡大は存在しない。

例：Qは代数的閉体ではない。x²-2=0はQに解を持たない。

例：Rは代数的閉達ではない。x²+2=0はRに解を持たない。

例：Cは代数的閉体である。証明には以下の補題を用いる。

1. f(x)∈C[x]とする。f(a)≠0のとき、aの任意の近傍において|f(a)|は|f(x)|の最小値ではない。
2. 定数ではない多項式f(x)において|x|→∞のとき、|f(x)|→∞。

任意のf(x)∈C[x]について、補題2より充分大きな円盤D={x｜|x|<r}を考えると|f(x)|>|f(0)|とすることができる。Dはコンパクトなので|f(x)|を最小にするa∈Dが存在する。補題1よりf(a)が最小となる時、f(a)=０でなければならない。任意のf(x)にf(x)=0となる解aが少なくとも一つ存在するので、Cは代数閉体である。

関連項目

• 数学
• 数学関連用語の一覧
• 群(数学)
• 環(数学)
• 有理数
• 実数
• 複素数、超越数
• 多項式