全ての素数の積とは (スベテノソスウノセキとは) [単語記事]

全ての素数の積とは、数学の問題である。2014年にツイッターなどで広まった。

概要

議論の発端はコロプラが提供するクイズゲーム「魔法使いと黒猫のウィズ」で次のクイズが出題されたことである。

「全ての素数をかけた時にできる数は、偶数、奇数のうちどちらか？」
1.奇数
2.偶数
3.どちらの場合もある
4.どちらでもない

解答

ゲーム側が正解に設定していたのは「偶数」だった。しかし、数学的にそれは正しくないと反論する者が現れた。主に2と4で意見が割れたが、その他の選択肢が正しいという主張もあらわれた。それぞれの解答の大まかな論拠を並べる。

1.奇数

・　2×3×5×7×11×…
=(2-1)×3×5×7×11×…　　←奇数
　　+(3-1)×5×7×11×…　　←偶数
　　　　+(5-1)×7×11×…　　←偶数
　　　　　＋…＋…
奇数+偶数＋偶数＋…なので奇数。

2.偶数

・始めに2が掛けられており、偶数にいかなる自然数を掛けても偶数。だから全ての素数の積も当然偶数。
・n番目までの素数の積は偶数でありn+1番目の素数を掛けると偶数になる。数学的帰納法から偶数。
・全ての素数の積自体は無限大に発散するが上記の理由から偶数の性質が失われることは無い。定数には収束しないが少なくとも偶数である。
・無限大に発散することと無限大の偶奇は無関係。2×∞と変形できるので偶数。あるいは超準解析でそのような数を「偶数の∞」と定義すればよい。

3.どちらの場合もある

・全ての素数の積をNとすると1.の議論からN=（奇数）=（偶数）となる。式変型して好きな方を選べばよい。
・同様の式変形を偶数の項に繰り返し適用することで任意の回数だけ奇数の項を作ることができる。

4.どちらでもない

・無限大に発散するからそもそも偶奇を定義できない。有限回の積で必ず偶数だったとしても発散する数に数学的帰納法は適用できないので全ての素数の積には無関係。
・定数ではない数や積の順序の交換や和に変換する操作で偶奇が変わるようなものは偶奇の議論の対象外。
・全ての素数の積を自然数NとするとN+1は素数となるが矛盾。背理法からNは自然数ではないので仮に何かに収束したとしてもそれは偶数の集合には含まれない。
・ζ関数に解析接続すると4π²になるので偶数でも奇数でもない。

5.解答不能

・問題文があいまいなので答えようがない。悪問である。
・全ての素数の積という定義できないものについて回答することはできない。問題文が誤りである。

いずれも一見すると尤もな解答である。あるいは詭弁と感じるが何がマズいのか直感だけでは説明できない。
この記事の読者は上記解答のどのような点が、なぜ、どのように誤りであるか、あるいはなぜ正しいと言えるのか、指摘できるだろうか。さらに上記とは異なる論理を考えることができるだろうか。

回答

高校数学までの範囲で得られる回答は「4.偶数でも奇数でもない」である。

一番強力な論拠は、

・全ての素数の積を自然数NとするとN+1は素数となるが矛盾。背理法からNは自然数ではないので仮に何かに収束したとしてもそれは偶数の集合には含まれない。

である。

N+1は、N+1自身以外のいかなる素数で割っても1あまる数となるので、定義からN+1は新しい素数となる。しかし、既に全ての素数を漏れ無く列挙してあるという仮定からスタートしているため、矛盾となる。

解析接続は「テイラー展開表示をしてある複素関数は係数次第で定義域が限定されてしまうが、展開の中心を変更することで関数の定義域を広め、元の関数を含むより定義域の広い関数へ解析的に接続する作業」であり、その副産物として発散するような数列であっても形式的に特定の実数と対応付けることができる、というものである。解析接続は全ての素数の積を実数4π²に収束させる技術、というわけではないので論拠としては不適切であろう。