全ての素数の積とは (スベテノソスウノセキとは) [単語記事]

全ての素数の積とは、数学の問題である。2014年にツイッターなどで広まった。

概要

議論の発端は、コロプラが提供するクイズゲーム『魔法使いと黒猫のウィズ』で次のクイズが出題されたことである。

「全ての素数をかけた時にできる数は、偶数、奇数のうちどちらか？」
1.奇数
2.偶数
3.どちらの場合もある
4.どちらでもない

解答

ゲーム側が正解に設定していたのは「2.偶数」だった。しかし、数学的にそれは正しくないと反論する者が現れた。主に「2.偶数」と「4.どちらでもない」で意見が割れたが、その他の選択肢が正しいという主張もあらわれた。

それぞれの解答の大まかな論拠を並べる。

2.偶数

始めに2が掛けられており、偶数にいかなる自然数を掛けても偶数。だから全ての素数の積も当然偶数。
n番目までの素数の積は偶数でありn+1番目の素数を掛けると偶数になる。数学的帰納法から偶数。
全ての素数の積自体は無限大に発散するが上記の理由から偶数の性質が失われることは無い。定数には収束しないが少なくとも偶数である。
無限大に発散することと無限大の偶奇は無関係。2×∞と変形できるので偶数。あるいは超準解析でそのような数を「偶数の∞」と定義すればよい。

1.奇数

2×3×5×7×11×…
=(2-1)×3×5×7×11×…　　←奇数
　　+(3-1)×5×7×11×…　　←偶数
　　　　+(5-1)×7×11×…　　←偶数
　　　　　+…+…
上記のように式変形を行うと「奇数+偶数+偶数+…」となる。
有限個の素数の積であれば最終項に奇数が現れる（総和は偶数になる）が、素数は無限に存在するため最終項が出現せず、計算結果は奇数となる。

3.どちらの場合もある

全ての素数の積をNとすると1.の議論からN=（奇数）=（偶数）となる。式変型して好きな方を選べばよい。
同様の式変形を偶数の項に繰り返し適用することで任意の回数だけ奇数の項を作ることができる。

4.どちらでもない

無限大に発散するからそもそも偶奇を定義できない。有限回の積で必ず偶数だったとしても発散する数に数学的帰納法は適用できないので全ての素数の積には無関係。
定数ではない数や積の順序の交換や和に変換する操作で偶奇が変わるようなものは偶奇の議論の対象外。
全ての素数の積を自然数Nとすると、N+1は自身以外のいかなる素数で割っても1あまる数となるので、定義からN+1は新しい素数となる。しかし、既に全ての素数を漏れ無く列挙してあるという仮定からスタートしているため、矛盾となる。背理法からNは自然数ではないので、仮に何かに収束したとしてもそれは偶数の集合には含まれない。
ゼータ関数に解析接続すると4π²になる。これは整数ではないので偶数でも奇数でもない。

解答不能

問題文があいまいなので答えようがない。悪問である。
全ての素数の積という定義できないものについて回答することはできない。問題文が誤りである。
定義できないものに回答することはできない、つまり質問は全ての素数の積を「数」としてとして扱っているがそのような「数」は存在しない。存在しないものをどう回答しても存在すると決めつける多重質問の誤謬であり回答不能。

いずれも一見すると尤もな解答である。あるいは詭弁と感じるが何がマズいのか直感だけでは説明できない。
この記事の読者は上記解答のどのような点が、なぜ、どのように誤りであるか、あるいはなぜ正しいと言えるのか、指摘できるだろうか。さらに上記とは異なる論理を考えることができるだろうか。

回答

「4.偶数でも奇数でもない」が正解である。
数学の問題として解答可能な問題であり、証明は下記のようになる。

全ての素数の積が自然数Nであると仮定する。
N+1は自身以外のいかなる素数で割っても1あまる数となるので、定義からN+1は新しい素数となる。しかし、既に全ての素数を漏れ無く列挙してあるという仮定からスタートしているため、矛盾となる。
背理法からNは自然数ではないので、仮に何かに収束したとしてもそれは奇数の集合にも偶数の偶数の集合にも含まれない。
よって「どちらでもない」。

である。この回答は現代数学で確定した正解であり、高校数学までの知識でも容易に導ける。
この証明は簡潔でありながら

直接証明ではなく背理法である
その背理法の対象はNの偶奇ではなく、Nが自然数であること
偶数か奇数かと問う問題に対して直接取り組まず、偶奇が成立する前提を破綻させて証明する
結局自然数（自然数ではない）Nの正体が具体的に何なのか解らないまま終わる

などなど、論理的・数学的には正しいが直観に反する方法を多数用いており、理解はできても感覚的に納得しがたいものとなっている。

前述した解析接続はあくまで「テイラー展開表示をしてある複素関数は係数次第で定義域が限定されてしまうが、展開の中心を変更することで関数の定義域を広め、元の関数を含むより定義域の広い関数へ解析的に接続する作業」であり、その副産物として発散するような数列であっても形式的に特定の実数と対応付けることができる、というものである。「解析接続は全ての素数の積を実数4π²に収束させる技術」というわけではないので、論拠としては不適切であろう。

改題

ゲーム側が設定した「2.偶数」が正答となる問題は下記などが考えられる。

「100までの素数を全てかけた時にできる数は、偶数、奇数のうちどちらか？」
「100番目までの素数を全てかけた時にできる数は、偶数、奇数のうちどちらか？」
- 掛け合わせる素数を有限個に限定してさえいれば、「10000まで」「1000番目までの素数」など最大値はなんでもよい。
「現在見つかっている全ての素数をかけた時にできる数は、偶数、奇数のうちどちらか？」
- 素数が無限に存在することはわかっているものの、現在までに発見されている素数に限れば有限個に限定できる。