全ての素数の積単語

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全ての素数の積とは、数学の問題である。2014年ツイッターなどで広まった。

概要

議論の発端はコロプラ提供するクイズゲーム魔法使いと黒猫のウィズ」で次のクイズが出題されたことである。

「全ての素数をかけた時にできる数は、偶数奇数のうちどちらか?」
1.奇数
2.偶数
3.どちらの場合もある
4.どちらでもない

解答

ゲーム側が正解に設定していたのは「偶数」だった。しかし、数学的にそれは正しくないと反論する者が現れた。に2と4で意見が割れたが、その他の選択肢が正しいというもあらわれた。それぞれの解答の大まかな論拠を並べる。

1.奇数

・ 2×3×5×7×11×…
=(2-1)×3×5×7×11×…  ←奇数
  +(3-1)×5×7×11×…  ←偶数
    +(5-1)×7×11×…  ←偶数
     +…+…
奇数+偶数偶数+…なので奇数

2.偶数

・始めに2が掛けられており、偶数にいかなる自然数を掛けても偶数。だから全ての素数の積も当然偶数
・n番までの素数の積は偶数でありn+1番素数を掛けると偶数になる。数学的帰納法から偶数
・全ての素数の積自体は無限大に発散するが上記の理由から偶数の性質が失われることはい。定数には収束しないが少なくとも偶数である。
無限大に発散することと無限大の偶奇は関係。2×と変形できるので偶数。あるいは準解析でそのような数を「偶数」と定義すればよい。

3.どちらの場合もある

・全ての素数の積をNとすると1.の議論からN=(奇数)=(偶数)となる。式変して好きな方を選べばよい。
・同様の式変形を偶数の項に繰り返し適用することで任意の回数だけ奇数の項を作ることができる。

4.どちらでもない

無限大に発散するからそもそも偶奇を定義できない。有限回の積で必ず偶数だったとしても発散する数に数学的帰納法は適用できないので全ての素数の積には関係。
定数ではない数や積の順序の交換や和に変換する操作で偶奇が変わるようなものは偶奇の議論の対外。
・全ての素数の積を自然数NとするとN+1は素数となるが矛盾背理法からNは自然数ではないので仮に何かに収束したとしてもそれは偶数集合には含まれない。
ζ関数に解析接続すると4π2になるので偶数でも奇数でもない。

5.解答不能

・問題文があいまいなので答えようがない。悪問である。
・全ての素数の積という定義できないものについて回答することはできない。問題文が誤りである。


いずれも一見するともな解答である。あるいは詭弁と感じるが何がマズいのか直感だけでは説明できない。
この記事の読者は上記解答のどのような点が、なぜ、どのように誤りであるか、あるいはなぜ正しいと言えるのか、摘できるだろうか。さらに上記とは異なる論理を考えることができるだろうか。

議論について

多くの人は一分かるわけないと感じ、その後2が掛けられているから偶数だと気付き、でもよく考えたら発散するのでひょっとしたら定義できないのでは?と発想する。しかし、厳密さを追いめていくと数論は論のこと、最低限でも解析学の知識は要される。さらに進もうとするとζ関数やら準解析やらよくわからないものにすぐにぶち当たってしまいめんどくさくなる脱落してしまう。筆者はそうであった。

限や極限に関しては特に繊細な議論が必要である。用は正しく使われているのか誤用なのか、正しい論理展開なのか詭弁なのか、視点を変えたら正しいという事を見落としていないか、などはすぐにはわからないことが多い。設問の性質からも、各分野の知識を持ち合わせていないとの内容を理解することさえ難しいが、分かっている人には難しく考える必要はない、簡単すぎて敢えて反論するまでもない、と感じてしまうという問題もある。

ちなみにこれはパラドックスではないので解答は一つに絞られる。このようなものを疑似パラドックスという。解説は論拠の正確さで説得が変わるので、どういう立場・視点であるか、つまり「この分野ならOOだ」という解説になっているか、ということを意識的に明示するよう心掛け、なるべく丁寧で明快な議論をしていく必要がある。

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掲示板

  • 67ななしのよっしん

    2021/05/15(土) 09:47:07 ID: L4CHlrKjb+

    2*3*5*7*11*13+1は2,3,5,7,11,13では割り切ることができないということをどんどん拡しただけだし
    数え上げた素数の中に全ての素数の積が含まれるという矛盾が導けるという議論だから本質的には同じことを言ってると思う
    強いて言えば「素数を全て数え上げることができたと仮定して」という仮定から始まってるから素数限にあるとまでしか言えず全ての素数の積Nの隅奇まで問うことはできない、とかにを弱めるくらいか
    まあその時は結局NはNの素因数に含まれない素数素因数分解できるみたいな矛盾むことになるわけだけど

  • 68ななしのよっしん

    2021/05/16(日) 10:58:02 ID: MZEr0eDp0/

    >>66
    >これ間違ってるね
    「N+1は、任意の素数で割る事ができない(割ったら1余る)」
    →「N+1は合成数ではない」→「合成数でない自然数、つまりN+1は素数という事になる」
    というな途中過程を省略した結論を書いてるだけだから、別にロジック自体は間違いではないぞい

    「ある素数までの積」でなく「全ての素数の積(が存在する)」という前提でのロジックなので、結論も違ってくるという話

  • 69ななしのよっしん

    2021/05/21(金) 01:41:26 ID: zvmKjZC+w5

    あ、本当だ……前に似たミスを見たことあってその記憶に引っられてしまってた
    偉そうなこと言っといて混乱させて申し訳ない

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最終更新:2021/06/23(水) 12:00

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