群(数学)

数学における群とは、演算が定義され、その演算に関して結合法則が成り立ち、単位元を持ち、すべての元が逆元を持つ集合である。

なお自然数全体の集合をN、整数全体の集合をZ、有理数全体の集合をQ、実数全体の集合をR、複素数全体の集合をCとする。

演算

Gを集合とする。写像f:G×G→GをGにおける二項演算、または単に演算という。

たとえば、N×N∋(a,b)→a+b∈N や、N×N∋(a,b)→ab∈N はNにおける演算である。

しかし、N×N∋(a,b)→a-b∈N は演算ではない。先ほどa-b∈Nと書いたが、実際はa=1, b=2に対し、a-b=1-2=-1∉N となるからである。

つまり、　fがGにおける演算 ⇔ ∀a,b∈Gに対し、f(a,b)∈G　である。

なおこれ以降、f(a,b) のことを、単にabとかく。

結合法則と半群

∀a,b,c∈Gに対し、(ab)c=a(bc) が成り立つとき、演算は結合法則を満たすといい、Gは半群であるという。このとき(ab)cやa(bc)を、単にabcとかく。

たとえば、N, Z, Q, R, C は加法と乗法それぞれに関して半群である。

単位元とモノイド

e∈Gが、∀a∈Gに対し、ae=ea=a を満たすとき、eをGの単位元という。

Gの単位元は存在すればただ一つである。

単位元を持つ半群をモノイドという。

たとえば、Nは加法に関しては単位元を持たないためモノイドではない。一方、乗法に関しては1という単位元を持つからモノイドである。

また、Z, Q, R, Cは加法と乗法それぞれに関してモノイドである。単位元は加法は0、乗法は1。

逆元と群

eをGの単位元とする。

a, b∈Gが ab=ba=e を満たすとき、bをaの逆元という。このとき、aはbの逆元である。

aの逆元は存在すればただ一つである。これを a^-1 と表す。

Gがモノイドで、Gの全ての元に対し逆元が存在するとき、Gを群という。

まとめ

すなわち、Gが群であるとは、演算が定義され、

1. ∀a,b∈Gに対し、ab∈G
2. ∀a,b,c∈Gに対し、(ab)c=a(bc)
3. あるe∈Gが存在し、∀a∈Gに対し、 ae=ea=a
4. ∀a∈Gに対し、あるb∈Gが存在し、 ab=ba=e

となることである。

群の例

• Nは加法と乗法どちらに関しても群ではない。加法に関してはそもそも単位元が存在せず、乗法に関しては1以外は逆元を持たないためである。
• Z, Q, R, Cは加法に関して群である（aの逆元は-a）。一方、乗法に関しては0が逆元を持たないため群ではない。Q, R, Cの各々から0を抜いた集合は乗法に関して群である（aの逆元は1/a）。
• M(n, C)={A|Aはn次正方行列で、Aの成分はすべて複素数} は行列の加法に関して群である。
• GL(n, C)={A∈M(n,C)|Aは逆行列をもつ} は行列の乗法に関して群である。

関連項目

• 数学
• 数学関連用語の一覧
• 代数学
• モノイド
• 集合