群(数学)

数学における群とは、演算が定義され、その演算に関して結合法則が成り立ち、単位元を持ち、すべての元が逆元を持つ集合である。

なお自然数全体の集合をN、整数全体の集合をZ、有理数全体の集合をQ、実数全体の集合をR、複素数全体の集合をCとする。

ある集合と別の集合との構造を抽象化して比較することで、一見すると全く違うようでも実は群として同一の構造を持つことが分かったりする。例えば3次元空間における回転操作は群の構造を持ち、3次正方行列の特殊な部分群として表現することができる。

演算

Gを集合とする。写像f:G×G→GをGにおける二項演算、または単に演算という。

たとえば、N×N∋(a,b)→a+b∈N や、N×N∋(a,b)→ab∈N はNにおける演算である。
具体例で言うと自然数2と自然数3を足し算すると自然数5になり、掛け算すると自然数6になる。

しかし、N×N∋(a,b)→a-b∈N は演算ではない。先ほどa-b∈Nと書いたが、実際はa=1, b=2に対し、a-b=1-2=-1∉N となり自然数ではなくなるからである。
範囲を自然数から整数に拡大すると引き算も演算になる。

つまり、　fがGにおける演算 ⇔ ∀a,b∈Gに対し、f(a,b)∈G　である。
いいかえると、Gの要素2つを取り出し演算という法則を通して別の要素一つに対応させると、それもGの要素になっているという事である。この性質を演算がGに対して「閉じている」という。足し算（加法）と掛け算（乗法）は自然数の範囲で閉じているが引き算は閉じていない。

なおこれ以降、f(a,b) のことを、単にabと書く。一般の群においては必ずしもab=baとはならないことに注意する必要がある。

結合法則と半群

∀a,b,c∈Gに対し、(ab)c=a(bc) が成り立つとき、演算は結合法則を満たすといい、Gは半群であるという。このとき(ab)cやa(bc)を、単にabcとかく。

たとえば、N, Z, Q, R, C は加法と乗法それぞれに関して半群である。

単位元とモノイド

e∈Gが、∀a∈Gに対し、ae=ea=a を満たすとき、eをGの単位元という。

Gの単位元は存在すればただ一つである。ae=aを満たす元eを右単位元と呼び、e'a=aを満たす元e'を左単位元をと呼ぶが、左単位元と右単位元は必ず一致し、まとめて単位元と呼ぶ。

単位元を持つ半群をモノイドという。半群に上記の性質を持つ元eを導入することでモノイドにすることができる。

たとえば、Nは加法に関しては単位元を持たないためモノイドではない。一方、乗法に関しては1という単位元を持つからモノイドである。

また、Z, Q, R, Cは加法と乗法それぞれに関してモノイドである。単位元は加法は0、乗法は1。

逆元と群

eをGの単位元とする。

a, b∈Gが ab=ba=e を満たすとき、bをaの逆元という。このとき、aはbの逆元である。こちらも右逆元と左逆元があるが片方が存在すれば両者は一致する。

aの逆元は存在すればただ一つである。これを a^-1 と表す。たとえば整数を例にとると、a=3の場合、3+b=0となる元bは-3であるが、3×b=1となる元bは1/3であり、乗法は整数の範囲に逆元が存在しない。

Gがモノイドで、Gの全ての元に対し逆元が存在するとき、Gを群という。
Z, Q, R, Cは加法に、Q*, R*, C*（Q, R, Cから0を除いた集合）は乗法に関して群である。

可換群

a, b∈Gが ab=ba、つまり交換法則を満たす場合にGを可換群という。
Z, Q, R, Cは加法に、Q*, R*, C*は乗法に関して可換群である。

可換でない例としてn次一般線形群や連続関数の合成を演算とした群、点群や結晶空間群などがある。

まとめ

すなわち、Gが群であるとは、演算が定義され、

1. ∀a,b∈Gに対し、ab∈G
2. ∀a,b,c∈Gに対し、(ab)c=a(bc)
3. あるe∈Gが存在し、∀a∈Gに対し、 ae=ea=a
4. ∀a∈Gに対し、あるb∈Gが存在し、 ab=ba=e

となることである。

群の例

• Nは加法と乗法どちらに関しても群ではない。加法に関してはそもそも単位元が存在せず、乗法に関しては1以外は逆元を持たないためである。
• Z, Q, R, Cは加法に関して群である（aの逆元は-a）。一方、乗法に関しては0が逆元を持たないため群ではない。Q, R, Cの各々から0を抜いた集合は乗法に関して群である（aの逆元は1/a）。
• M(n, C)={A|Aはn次正方行列で、Aの成分はすべて複素数} は行列の加法に関して群である。
• GL(n, C)={A∈M(n,C)|Aは逆行列をもつ} は行列の乗法に関して群である。これをn次一般線形群という。行列式を1に制限したものを特殊線形群と呼ぶ。

関連項目

• 数学
• 数学関連用語の一覧
• 代数学
• モノイド
• 集合