自然対数の底

自然対数の底(しぜんたいすうのてい)とは、

   2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669...

と表される超越数である。「しぜんたいすうのそこ」ではないので注意。

一般的にlim_n→∞(1+1/n)ⁿで定義される値である。
もしくはlim_n→0(1+n)^1/nで書く場合もある。　
これは高校、大学等によって異なる時もあれば両方教える時もある。

概要

慣習的にアルファベットの e で表される。

対数の研究に業績のあるイギリスの数学者ジョン・ネイピアの名前から「ネイピア数」とも呼ばれる。レオンハルト・オイラーの業績により「オイラー数」とも呼ばれる。

この定数は、指数関数や対数関数の微分においてしばしば登場する。特に、e^xを微分するとe^xとなり、log_e xを微分すると1/xとなる。このように、微分において非常に扱いやすい数であるため、指数・対数関数というとeを連想する人も多いだろう。e^xはexp(x)、log_e xをlog xと書く場合もある。しかし、log xは常用対数でも用いられるので、混同を避けるためln xと書くこともある。

また、自然対数の底を用いた公式としては「オイラーの公式」が知られている。

iを虚数単位(i²=-1)とするとき、θラジアンの角に対し

e^iθ = cosθ+ i sinθ

これにおいてθ=π(円周率)の時は「オイラーの等式」と呼ばれ、数学の式の中でも最も美しいものの中の一つに数えられる。

e^iπ + 1 = 0

求め方

理系でないと知らないようなこの数だが、普通の電卓でも割と簡単に計算できる。手順は次の通り。

1. [MC] を押す。
2. 1[M+] と入力する。
3. そのまま ÷1[M+] と入力する。
4. さらにそのまま ÷2[M+]÷3[M+]÷4[M+]… と続ける。
5. 表示が 0 になるまで繰り返す。
6. [MR] を押す。

但し、表示される下何桁かは誤差を含んでいるので要注意。

関連動画

関連項目

• 数学
• 対数
• 指数関数
• レオンハルト・オイラー
• オイラーの等式
• 数の一覧