自然対数の底

自然対数の底とは、2.718281828459041... で近似される超越数である。

一般的にlim_n→∞(1+1/n)ⁿで定義される値である。

概要

数学では小文字の e であらわす。

対数の研究に業績のあるイギリスの数学者ジョン・ネイピアの名前から「ネイピア数」とも呼ばれる。レオンハルト・オイラーの業績により「オイラー数」とも呼ばれる。

この定数は、指数関数や対数関数の微分においてしばしば登場する。特に、e^xを微分するとe^xとなり、log_e xを微分すると1/xとなる。このように、微分において非常に扱いやすい数であるため、指数・対数関数というとeを連想する人も多いだろう。e^xはexp(x)、log_e xをlog xと書く場合もある。しかし、log xは常用対数でも用いられるので、混同を避けるためln xと書くこともある。

また、自然対数の底を用いた公式としては「オイラーの公式」が知られている。

iを虚数単位(i²=-1)とするとき、θラジアンの角に対し

e^iθ = cosθ+ i sinθ

これにおいてθ=π(円周率)の時は「オイラーの等式」と呼ばれ、数学の式の中でも最も美しいものの中の一つに数えられる。

e^iπ + 1 = 0

 

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