連続体仮説とは (レンゾクタイカセツとは) [単語記事]

数学における連続体仮説とは

　「可算濃度より大きい最小の濃度は連続体濃度じゃねえの？仮説」

の事である。

概要

　
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ゲオルク・カントール(1845-1918)

説明

無限集合

｛１，２，３，４，５｝この集合は有限集合である。

一方、集合の要素が無限にある集合を無限集合という。

濃度

無限集合の大きさのようなものを示す尺度。

有限集合ならば要素の数が多い、少ないといった具合で集合の大小関係を知ることができる。

しかしながら無限集合の場合、要素数はどれも無限であるからして要素数の数をカウントして大小を論ずることはできない。このため、濃度という概念が考案された。まあ、大きさと思っていい。

まず、無限集合の濃度のうち一番小さいものは、後述する可算濃度というシロモノである。これを濃度レベル０とする。

さて、このレベル０の無限集合の冪集合をとると、あら不思議・・・・レベル１の濃度を持つ無限集合が出来上がる。

今度は、レベル１の無限集合の冪集合をとるとレベル２の無限集合が、レベル２の・・・・・、以下無限に続く。

というわけで、　レベル０＜レベル１＜レベル２・・・・・・・・・・・・　という感じに無限レベルのヒエラルキーが得られた。

もっとも、本当はレベルという言葉じゃなく、ℵ（アレフ）　というヘブライ文字を使って以下のように書く

ℵ₀, ℵ₁,ℵ₂,....　　（アレフヌル、アレフワン、アレフツー・・・・）

こんな具合だが、取っ付きにくいので本項ではレベルで通すことにする。

可算濃度

自然数全ての集合などが属する濃度。レベル０、最小の濃度である。

自然数の集合	1,2,3,4,5,6,7.............
素数の集合	1,2,3,5,7,11,13.......	数えると心が落ち着く数の集合。
有理数の集合	1,1.33333333,1.44444,...	実数のうち無理数を除いたもの。整数、有限小数、循環小数など。

など。普通の人が思い浮かべる無限は大抵コレ。上記すべての無限集合の濃度は等しく可算濃度と呼ばれる。

可算とは数えられるという意味で、可算濃度の無限集合の要素は数えることができるのである。

いやいや自然数の集合よりも有理数の集合の方が大きいだろ？ｊｋ

と感じられるが、無限集合の濃度というのはそういうものである。そのように定義されているのでしょうがない。

自然数集合の要素と上記の有理数を含む他の集合の要素の間には、１対１の関係があることが明らかに示されるため、みんなしぶしぶ納得したという。

連続体濃度

実数すべての集合が属する無限の濃度。文字通り可算濃度とは一線を画す存在である。

とあるドイツ人数学者の研究により、連続体濃度は可算濃度よりも大きいことが対角線論法というチートツールを使って証明された。

つまり、連続体濃度はレベル０ではなく、それよりも大きい。

　
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::::::::　　　　　　　　｜　　可算濃度がやられたようだな….　 │
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:::::　　　｜フフフ…奴は無限基数の中では最も小物 ….│
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｜スキューズ数如きにやられるとは │
｜無限の面汚しよ… 　　　　　　　　│
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　弱到達不能基数　　アレフ１００　 　アレフ８　　　連続体濃度

へー、じゃあ連続体濃度のレベルはいくつなのよ？１なの？

「連続体濃度のレベルは１である。」

この主張が連続体仮説である。

つまり、レベル０の次であるレベル１であれば０より大きい最小のレベルということになる。

しかし仮説というだけあって、真偽は不明。５とか８とかかも知れない。

件のドイツ人数学者は自分で提唱したこの仮説を生涯をかけて証明しようとしたが、結局果たすことなく鬼籍に入った。

これが証明されれば、連続体仮説は晴れて連続体定理と呼ばれることになるだろう。

だがしかし・・・・

先ほどのドイツ人数学者の没後半世紀ほどたった後、

「連続体仮説は（現在の数学の枠組みでは）証明も反証も不可能」

ということが証明された。

お後がよろしいようで。

連続体仮説単語

概要

説明

無限集合

濃度