連続体仮説とは (レンゾクタイカセツとは) [単語記事]

数学における連続体仮説とは

　「可算濃度より大きい最小の濃度は連続体濃度じゃねえの？仮説」

の事である。

概要

　
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ゲオルク・カントール(1845-1918)

説明

無限集合

｛1,2,3,4,5｝この集合は有限集合である。
一方、
｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12..............................（以下永遠に続く｝
のように集合の要素が無限にある集合を無限集合という。

濃度

無限集合の大きさのようなものを示す尺度。

有限集合ならば要素の数が多い、少ないといった具合で集合の大小関係を知ることができる。
しかしながら無限集合の場合、要素数はどれも無限であるからして要素の数をカウントして大小を論ずることはできない。このため、濃度という概念が考案された。まあ、大きさと思っていい。

まず、無限集合のうち一番小さいものは可算無限集合というシロモノで、この集合の濃度を可算濃度と呼ぶ。これを濃度レベル０とする。
０を初めとして、次に大きい無限集合の濃度をレベル１、その次をレベル２、その（ry　とすると

レベル０＜レベル１＜レベル２＜レベル３・・・・・・・・・・・・　という感じに濃度レベルのランキングが設定される。

もっとも、本当はレベルという言葉じゃなく、ℵ（アレフ）　というヘブライ文字を使って以下のように書く

ℵ₀, ℵ₁,ℵ₂,....　　（アレフヌル、アレフワン、アレフツー・・・・）

こんな具合だが、取っ付きにくいので本項ではレベルで通すことにする。

可算濃度

自然数全ての集合、奇数全ての集合などが属する無限集合の濃度。レベル０、最小の濃度である。

自然数の集合	1,2,3,4,5,6,7.............	正の整数をすべて集めた集合。
素数の集合	2,3,5,7,11,13.......	数えると心が落ち着く数の集合。
有理数の集合	1,1.333 33333,1.44444,...	実数のうち無理数を除いたもの。整数、有限小数、循環小数など。

など。普通の人が思い浮かべる無限は大抵コレ。上記すべての無限集合の濃度は等しく、これが可算濃度と呼ばれる。

可算とは数えられるという意味で、可算濃度の無限集合の要素は１つ１つ数えることができるのである。

レベル0以下の無限は存在しない。

というのは「無限個のなにか」を選ぶ行為（選択公理）を許すと「あらゆる無限の中に必ずレベル0の集合が入っている」ことが簡単に証明できるのである

いやいや自然数の集合よりも有理数の集合の方が大きいだろ？ｊｋ

と感じられるが、無限集合の濃度というのはそういうものである。そのように定義されているのでしょうがない、これが有限集合の個数とは違うところである。

自然数集合の要素と上記の有理数を含む他の集合の要素の間には、１対１の関係があることが明らかに示されるため、みんなしぶしぶ納得したという。

連続体濃度

実数すべての集合が属する無限集合の濃度。文字通り可算濃度とは一線を画す存在である。

とあるロシア出身の数学者の研究により、連続体濃度は可算濃度よりも大きいことが対角線論法というチートツールを使って証明された。

つまり、連続体濃度はレベル０ではなく、それよりも大きい。

　
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::::::::　　　　　　　　｜　　可算濃度がやられたようだな….　 │
:::::　　　┌───└───────────ｖ───┬┘
:::::　　　｜フフフ…奴は無限基数の中では最も小物 ….│
┌──└────────ｖ──┬───────┘
｜グラハム数如きにやられるとは │
｜無限の面汚しよ… 　　　　　　　　│
└────ｖ─────────┘
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　 |彡/二Oニニ|ノ　　　 /三三三!,　　　　　　 |!
　　`,' ＼､､＿,|/-ｬ　　　 ト `=j r=ﾚ　　　　 /ミ !彡 　　　　 ●
T 爪| /　/￣|/´＿_,ｬ　　|`三三‐/　　　　 |`=､|,='| 　　　＿(＿
/人 ヽ ミ='／|`:::::::/ｲ＿_ ト｀ー く＿＿,-,　 ､　_!_ / 　　(　ﾟωﾟ )
/　　`ー─'" |_,.イ､ | |/､　　 Y　 /| | | j　/　ﾐ`┴'彡＼ '　　　　`
　弱到達不能基数　　アレフ１００　 　アレフ８　　　連続体濃度

へー、じゃあ連続体濃度のレベルはいくつなのよ？１なの？

「連続体濃度のレベルは１である。」

この主張が連続体仮説である。
つまり、レベル０の次であるレベル１であれば０より大きい最小のレベルということになる。
しかし仮説というだけあって、真偽は不明。２とか９とかかも知れない。件の数学者は自分で提唱したこの仮説を生涯をかけて証明しようとしたが、結局果たすことなく鬼籍に入った。

これが証明されれば、連続体仮説は晴れて連続体定理と呼ばれることになるだろう。

☆もうすこし単純化した説明☆

可算濃度というのは一つ一つは有限の長さしかない記号列はどれだけあるか？ということを表している。整数も有理数も大してかわらーん！

一方、連続体濃度は3.1415...のように一つの数字を表すのさえ無限の記号列が必要なものが、それはたっぷり、それはそれはたっぷり詰まっている。

さて対角線論法を終えた先生はこう考えるわけである。

「有限列の総数よりは多く、(普通の)無限列の総数よりは少ない、そんな中途半端な濃度ってありえないよね？」

なにぶん相手は無限なので、全体を2倍や3倍、有限倍したぐらいでは濃度は増えてくれない。とすれば、最低でも次のステップは『無限×無限(ﾅﾝﾀﾞｿﾚｰ!)』なのだが、それってベキ濃度としか思えんよなぁ、というのが連続体仮説だった。南無三。

だがしかし・・・・

先ほどのロシア出身の数学者の没後半世紀ほどたった後、

「連続体仮説は（現在の数学の枠組みでは）証明も反証も不可能」

ということが証明された。

「現在の数学の枠組みでは証明も反証も不可能」とはどういうこと？

上記の証明をしたのはポール・コーエンという数学者である。

コーエンは「数学そのものを数学する」ことで上記の証明を得た。

現代ではこれに「超数学」というとても強そうな名前をつけている。

以下、かなり難しい議論になるので、筆者の考えが間違っていたら掲示板などで指摘してほしい。

また、できればもう少し面白くしてほしい。

数学を数学する、超数学の話

まず、数学の枠組みそのものを「宇宙」と呼ぶ。ここで現在の数学の枠組みを指す宇宙をVと呼ぼう。

Vの中には現在の数学で扱えるあらゆるものが入っていると思ってほしい。

コーエンは「連続体仮説の議論はVの外側にあるんじゃねーの？」と考えた。

これを証明するには

V + 「連続体仮説が真」　である宇宙が矛盾なく成立すること
V + 「連続体仮説が偽」　である宇宙が矛盾なく成立すること

の両方が証明できればいい。

しかし、我々が扱える数学はいまのところV だけである。だって今ある数学そのものがVなんだから。

上記の宇宙は我々には「見えない」ものになってしまう。

これでは付け加えた「連続体仮説が真/偽」によってなにか矛盾が生じて、結果その宇宙が崩壊していても見えないし、わからないのだ。

☆もうすこし単純化した説明☆

コーエン「連続体仮説って現在の数学の枠組みの外側にあるんじゃねーの？」

数学界「じゃあそれを現在の数学の枠組みの中で証明して」

コーエン「そんなこと言われてもねー(´・ω・｀)　あれ？待てよ？」

コーエンの強制法について

そんな謎の存在を我々が記述できる数学Vからどうやって証明するのか。

それこそが「コーエンの強制法」である。

詳細は専門書の解説に譲るが、ここでは果てしなく雑に説明する。

連続体仮説の肯定モデル

V + 「連続体仮説が真」である宇宙V^＊を考えよう。

V^＊は「連続体仮説が真」であることを矛盾なく証明できる数学である。

そのためには「現代の数学の枠組みV」に「議論M」のようなものが付け加わっているはずである。

このMの正体なのだが、正直言ってこれはよく分からないものなのである。

だって現代の数学の枠組みの外の話だし。

だからといってMに「全ジャンル作品最強議論」みたいなヤバいものが混じると、それが元で矛盾を起こし宇宙が崩壊してしまう。「まったくわけわからん」だと話にならない。

ちなみにこのMの中身は現在ガッツリ研究中である。

気になる方はMそのものではないが近い論理で導かれる「マーティンの公理」で調べてみるとMと似たような議論なのにMと全然違うと聞いて頭が混乱する幸せになれるかもしれない。

「現代の数学の外側」を強いられているんだ！

Mがどんなものか考えよう。

流石に無秩序だと不味いので、Mは数学的ななにかを集めたもの（集合）で三段論法が通じるとする。

すると「Mではないもの」が存在することがわかる。嘘だと思うなら「ラッセルのパラドックス」をよく考えてみてほしい。

ここで、Mの中身に「これをしてはいけない」みたいな条件をつけることを考える。

もし条件に引っかかったら「Mではないもの」に押し込めれば良いのだ。

こうして無事「全ジャンル作品最強議論」みたいなヤバいものはMから追放されることになる。

このヤバいものを追放しきったあとに残るものがジェネリックフィルタという概念である。

これをかき集めてMに突っ込めば良い。

そして、このジェネリックフィルタはV^＊やMのような見えない数学ではなく、我々が扱える数学Vで記述して良いことが証明できる。

つまり、コーエンは我々が扱える数学Vから見えない数学V^＊の挙動を「強制」して都合が良いように操作する方法を見つけたのである。

後はうまい条件を考えることで、連続体仮説が真である宇宙V^＊の存在を作り矛盾がないことを証明できる。同様にして連続体仮説が偽である宇宙も作り矛盾がないことを証明することができる。

こうしてコーエンは、

V + 連続体仮説が真である宇宙
V + 連続体仮説が偽である宇宙

の両方が矛盾なく存在することを示すことによって、連続体仮説が現在の数学の枠組みから独立した命題であることを証明したのである。納得のフィールズ賞である。

宇宙の外側へ

この「宇宙と宇宙の間」を接続する「コーエンの強制法」という手法は現代の数学に強烈なインパクトを残した。「現在の数学の枠組み」の外側があることを示してしまったからである。

　　　　　　 (ﾟдﾟ )
::: ―ﾆｰﾁｪ曰くヽノ｜
ｷｭｰﾝ　　　　<　<

深淵をのぞく時、深淵もまたこちらをのぞいているのだ。

そして無限に関わる深淵を覗いてしまったとき、数学界は数学の枠組みそのものを考え直すことになってしまったのだ。

お後がよろしいようで。

連続体仮説単語

概要

説明

無限集合

濃度