群(数学)

数学における群（ぐん, 英: group）とは、演算が定義され、その演算に関して結合法則が成り立ち、単位元を持ち、すべての元が逆元を持つ集合である。

以下では自然数全体の集合をN、整数全体の集合をZ、有理数全体の集合をQ、実数全体の集合をR、複素数全体の集合をCと表すことにする。後に述べるようにこれらは群の典型例である。

ある集合と別の集合との構造を抽象化して比較することで、一見すると全く違うようでも実は群として同一の構造を持つことが分かったりする。例えば3次元空間における回転操作は群の構造を持ち、3次正方行列の特殊な部分群として表現することができる。あるいはあみだくじの組み合わせを対称群を用いて説明することができる。

定義

Gが群であるとは、二項演算が定義され、次の1〜4が成り立つことである.

1. 任意のa,b∈Gに対し, ab∈G.
2. 任意のa,b,c∈Gに対し, (ab)c=a(bc).
3. あるe∈Gが存在し, 任意のa∈Gに対し,  ae=ea=a.
4. 任意のa∈Gに対し, あるb∈Gが存在し, ab=ba=e.

また、1, 2を満たすものを半群、1, 2, 3を満たすものをモノイドという。

…と言われてもほとんどの人にとっては何がなにやらわからないと思うので、以下で詳細に解説する。

演算

Gを集合とする。写像f:G×G→GをGにおける二項演算、または単に演算という。

たとえば、N×N∋(a,b)→a+b∈N や、N×N∋(a,b)→ab∈N はNにおける演算である。具体例で言うと自然数2と自然数3を足し算すると自然数5になり、掛け算すると自然数6になる。

しかし、N×N∋(a,b)→a-b∈N は演算ではない。先ほどa-b∈Nと書いたが、実際はa=1, b=2に対し、a-b=1-2=-1∉N となり自然数ではなくなるからである。範囲を自然数から整数に拡大すると引き算も演算になる。

つまり、　fがGにおける演算 ⇔ ∀a,b∈Gに対し、f(a,b)∈G　である。いいかえると、Gの要素2つを取り出し演算という法則を通して別の要素一つに対応させると、それもGの要素になっているという事である。この性質を演算がGに対して「閉じている」という。足し算（加法）と掛け算（乗法）は自然数の範囲で閉じているが引き算は閉じていない。

なおこれ以降、f(a,b) のことを、単にabと書く。一般の群においては必ずしもab=baとはならないことに注意する必要がある。

また、以下では「Gの任意の元aに対し…」を「∀a∈Gに対し…」と略記することにする。

結合法則と半群

∀a,b,c∈Gに対し、(ab)c=a(bc) が成り立つとき、演算は結合法則を満たすといい、Gは半群であるという。このとき(ab)cやa(bc)を、単にabcとかく。

たとえば、N, Z, Q, R, C は加法と乗法それぞれに関して半群である。

3次元ベクトルの外積はG×G→Gを満たすが(ab)c≠a(bc)なので半群にはならない。（こういうのを亜群とかマグマとか言うらしい）

単位元とモノイド

e∈Gが、∀a∈Gに対し、ae=ea=a を満たすとき、eをGの単位元という。

Gの単位元は存在すればただ一つである。ae=aを満たす元eを右単位元と呼び、e'a=aを満たす元e'を左単位元をと呼ぶが、左単位元と右単位元は必ず一致し、まとめて単位元と呼ぶ。

単位元を持つ半群をモノイドという。半群に上記の性質を持つ元eを導入することでモノイドにすることができる。

たとえば、Nは加法に関しては単位元を持たないためモノイドではない。一方、Nに0を加えた集合N₀は0を単位元に持つのでモノイドになる。N（およびN₀）は乗法に関して1という単位元を持つからモノイドである。

3次元ベクトルの外積は必ずab=-baを満たすので、ae=eaならばae=0、したがってe=0　(零ベクトル)となる。したがって外積の単位元は存在しない。

また、Z, Q, R, Cは加法と乗法それぞれに関してモノイドである。単位元は加法は0、乗法は1。

逆元と群

eをGの単位元とする。

a, b∈Gが ab=ba=e を満たすとき、bをaの逆元という。このとき、aはbの逆元である。こちらも右逆元と左逆元があるが片方が存在すれば両者は一致する。

aの逆元は存在すればただ一つである。これを a^-1 と表す。たとえば整数を例にとると、a=3の場合、3+b=0となる元bは-3であるが、3×b=1となる元bは1/3であり、乗法は整数の範囲に3の逆元が存在しない。

Gがモノイドで、Gの全ての元に対し逆元が存在するとき、Gを群という。

Z, Q, R, Cは加法に、Q*, R*, C*（Q, R, Cから0を除いた集合）は乗法に関して群である。

可換群

a, b∈Gが ab=ba、つまり交換法則を満たす場合にGを可換群またはアーベル群という。

Z, Q, R, Cは加法に、Q*, R*, C*は乗法に関して可換群である。

可換でない例としてn次一般線形群、連続関数の合成を演算とした群、有界な線形演算子全体の集合の成す群、点群や結晶空間群などがある。

群の例・群でない例

• Nは加法と乗法どちらに関しても群ではない。加法に関してはそもそも単位元が存在せず、乗法に関しては1以外は逆元を持たないためである。
• Z, Q, R, Cは加法に関して群である（aの逆元は-a）。一方、乗法に関しては0が逆元を持たないため群ではない。Q, R, Cの各々から0を抜いた集合は乗法に関して群である（aの逆元は1/a）。
• M(n, C)={A|Aはn次正方行列で、Aの成分はすべて複素数} は行列の加法に関して群である。
• GL(n, C)={A∈M(n,C)|Aは逆行列をもつ} は行列の乗法に関して群である。これをn次一般線形群という。行列式を1に制限したものを特殊線形群SL(n,C)と呼ぶ。
• 以上の物は群の要素の数が無限なので無限群という。
• 群の要素が有限の物を有限群という。有限群は整数のあまりを求める操作や素因数分解と深い関係を持つ物が多い。具体例は「オイラーのφ関数」の記事を参照。

部分群

群Gの部分集合HがGの部分群であるとは、HがGの演算により再び群の構造をもつことをいう。

例えばZを加法に関する群だと思ったとき、3の倍数全体の集合3Zは再び加法に関して群となっているのでZの部分群である。

正規部分群

部分群の中で特に重要なものの一つが正規部分群である。

群Gの部分群NがGの正規部分群であるとは、任意のg∈G, n∈N に対して g^-1ng∈N が成り立つことをいう。

例えばG自身、および{e}は正規部分群となる。この2つを自明な正規部分群、それ以外を真の正規部分群と言い、自明なもの以外に正規部分群が存在しない群を単純群という。

定義から、可換群はすべての部分群が正規部分群となる。そのため、正規部分群が重要な意味を持つのは非可換群である。

例: SL(n,C)はGL(n,C)の正規部分群である。X∈GL(n,C)、Y∈SL(n,C)とすると、det(XYX^-1)=1より、XYX^-1はSL(n,C)の要素となる。

準同型写像

群A,Bを群とする。fをAからBへの写像f:A→Bとする。fが群の演算の構造を保存するとき、準同型写像(homomorphism)という。つまり

f(a₁a₂)=f(a₁)f(a₂) （a₁,a₂∈A、f(a₁),f(a₂)∈B）

となることである。

Aの単位元および逆元は準同型写像によってBの単位元および逆元に写される。つまり、f(e)=e'、f(a^-1)=f(a)^-1が成り立つ。

核と像

先程eはe'に写されると述べたが、一般にはe'に写される元は一つとは限らない。e'に写されるAの元の集合を核(kernel)と呼び、Ker(f)と書く。つまり、Ker(f) = {a∈A | f(a)=e'} である。Ker(f)はAの正規部分群である。

Aの元aを用いてf(a)の形で表せるBの元の全体をfの像(image)と呼び、Im(f)と書く。つまり、Im(f)={f(a) | a∈A} である。Im(f)はBの部分群である。

同型写像

準同型写像の内、全単射（1対1対応）なものを特に同型写像(isomorphism)と呼ぶ。

群AとBの間に同型写像 f:A→Bが存在するとき, AとBは同型である(isomorphic)といい、A≅Bと表す。

同型であるということは、一見異なるような群であっても根本となる構造が全く同じであるということである。

これを応用すると、例えば整数の構造を持つ集合は本質的に一つしかない（同型写像を通して一致させることができる）という事が言える。

例1: f：X∈GL(n,C) → detX とすると、detXは複素数であり、単位元は1だからKer(f)はSL(n,C)である。

例2: exp(x+y)=exp(x)exp(y) により、実数全体の和の演算は正の実数の積の演算と準同型である。
さらに、exp(0)=1よりker(f)は{0}のみとなるため、実は同型である。

準同型に関する定理

準同型に関する特に重要な定理が以下の3つである。

準同型定理

A, Bを群、fをAからBへの準同型写像とするとき、A/Ker(f)≅B。

つまり、AからBへの準同型fが存在するとき、Aをfの核で割ることでBと同型にすることができる。

例　GL(n,C)/SL(n,C)≅C*。C*としてdetXを持って来るとよい。

第一同型定理

A, Bを群、fをAからBへの準同型写像とする。N'をBの正規部分群とする。このとき、f^-1(N')はGの正規部分群であって、A/N≅B/N'。

つまり、正規部分群の逆像は正規部分群であり、それぞれの正規部分群による同値類は同型になる。

第二同型定理

Gを群とする。HをGの部分群、NをGの正規部分群とする。このとき、H/(H∩N)≅HN/N。

Gの正規部分群Nの正規部分群N'はGの正規部分群となるとは限らない。しかし、Gの部分群Hと正規部分群Nに対し、① HN＝NH、かつHNは部分群、② H∩NはHの正規部分群、の2つが成り立つ。この2つの部分群に対する定理である。

関連項目

• 数学
• 数学関連用語の一覧
• 代数学
• モノイド
• 集合