x+c

x+cである。

概要

声に出してみよう(+は『たす』)

数学的な話

文字式として

これ以上因数分解できない、最も単純な多項式。
xの1次式であり、cの1次式でもある。 

xをcに、cをxに置き換えても、元の式と等しくなる。すなわち

x+c=c+x

となる。このような多項式を「(2変数の)対称式」という。
さらに、x+cには「(2変数の)基本対称式」という特別な名前がついている。
この名がついた対称式は、x+cとxcの2つだけである。
その理由を知るために、以下の例を見てほしい。

1. x²c² = (x+c)²-2xc
2. x²c+xc² = xc(x+c)
3. x³+x²+x+c+c²+c³ = (x+c)³+(x+c)²+(x+c)-3xc(x+c)-2xc

例1~3まで､いずれも左辺は対称式であり､右辺はそれをx+cとxcの組み合わせで表した式だ｡
このように､すべての対称式は､必ず基本対称式の和と積で表せることが知られている｡

方程式、または関数として

以下､xを変数(未知数)､cを定数とする｡

x+c=0とおけば､これは一次方程式となる｡
解はx=-cである｡

また､y=x+cとおけば､これは一次関数となる｡
傾きは1､y切片はc､x切片は-cである｡
このｸﾞﾗﾌと､x軸､y軸に囲まれた図形は直角二等辺三角形となり､その面積はc²/2である｡

不定積分として

1の不定積分である｡すなわち､

∫dx=x+C

である(Cは積分定数)｡最も簡単な原始関数とも言える｡
積分範囲を[0,a]とすると､積分結果はaとなる｡
これはx軸､y軸､x=a､y=1に囲まれた面積であり､縦の長さ1､横の長さaの長方形の面積である｡

ちなみにこの不定積分は､自然対数ln xの積分にも登場する｡

ln x = 1×lnx=x’×lnx

とみなし､部分積分すると､

  ∫lnxdx
=∫(x’ lnx) dx
=xlnx-∫x (lnx)’dx
=xlnx-∫x(1/x)dx
=xlnx-∫dx
=xlnx-(x+C)
=xlnx-x+C’

となる(C’=-C)｡この結果は公式として覚えておこう｡｡

関連項目

• ∫e^xdx = e^x+c