フェルマーの最終定理とは (フェルマーノサイシュウテイリとは) [単語記事]

フェルマーの最終定理とは、数学の定理である。

概要

定理の主張は非常に簡単であり、

「方程式 xⁿ+yⁿ=zⁿ が n≧3 の場合、 x,y,zは0でない自然数の解を持たない」

というものである。

この定理が産声を上げたのは17世紀。フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーが、彼の愛読書である『算術』（ディオファントス著）の余白に書き込んだメモがきっかけである。さらに、

私はこの定理について真に驚くべき証明を発見したが、ここに記すには余白が狭すぎる。

とのコメントが記してあった。まるで誰かがそのメモを見ることを予想していたかのように。

『算術』の余白には他にも様々な定理が証明無しで記してあり、彼の死後、遺品を整理していた遺族によって発見され再販された。その後、何人もの数学者によってそれらの定理に証明が与えられていったが、最後まで残ってしまったのがこの定理である。証明は困難を極め、いつしかこの定理はフェルマーの「最終」定理と呼ばれるようになった（この時点では未証明だったので「フェルマー予想」と呼ばれることもあった）。

この定理が証明されるまでに、実に350年以上もの歳月を必要とした。

証明したのはイギリスの数学者、アンドリュー・ワイルズである。この為、現在ではワイルズの定理、あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれる。ワイルズはフェルマー以降に発見された定理や、当時最新の定理を用いてこの難題に対抗。350年もの長い間、多くの数学者を悩ませ続けてきたモンスターも、1995年にようやく沈黙したのである。

ちなみに“n=2”の場合に等式が成り立つ条件について述べたのは、所謂ピタゴラスの定理（三平方の定理）である。

（かなり端折った）証明の歴史

<1670年>

全ての元凶フェルマー「なんか発見したけど解法は教えてやんないよ。全てを記すには余白が狭すぎる」

フェルマーの死後、彼の息子が余白への書き込み(最終定理は48個中2番目)を含めたディオファントスの『算術』を出版

＜1770年＞

レオンハルト・オイラー「n=4、n=3は解けた！（n=4にはフェルマーのヒント使ったけどね）」

＜1823-1847年＞

ソフィ・ジェルマン「nが素数だった時のフェルマーの最終予想の性質を調べてみた」
ペーター・グスタフ・ディリクレ＆アドリアン・マリー・ルジャンド「なるほど。コレを使ってn=5、n=14も(ry」
エルンスト・クンマー「100以下の素数は全部おｋ（こういうのはまとめて計算するんだよ数弱乙）」

＜1955年＞

谷山豊＆志村五郎　「そんなことより、全ての楕円曲線はモジュラー形式だと思うんだが」（谷山・志村予想）
※フェルマーの最終予想の式は、楕円曲線（yの二次式=xの三次式と表せる曲線）に変形できる。

<1984年>

ゲルハルト・フライ「フェルマーの最終予想の式に整数解があると仮定して楕円曲線作ったらモジュラーじゃないんだが」
ジャン・ピエール・セール「その発想はなかった。あと凡ミスあったから修正しとく」（フライ・セール予想）

<1986年>
ケン・リベット「バリー・メイザーにヒントもらった。フライさんの予想は正しいよ」

これを整理すると

○フェルマー予想に整数解があると仮定するとモジュラーじゃない楕円曲線ができる（フライ・セール予想）
↓
○谷山・志村予想が正しければモジュラーじゃない楕円曲線は存在しない
↓
○・・・・おかしくね？じゃあ最初の仮定が間違ってるってことになるわけで
↓
○ってことはフェルマー予想に整数解は存在しない(＝フェルマー予想は正しい)んだよね！ね！

つまり、谷山・志村予想が正しいと証明出来れば、フェルマーの最終定理も証明出来るということになる。

アンドリュー・ワイルズ「あれ？ってことは憧れだったフェルマー予想を解くことは数学の最先端に挑むことと同じことになるわけじゃないか…他の研究なんかやってる場合じゃない、ガロア理論、岩澤理論、コリヴァギン・フラッハ法。良い理論だな。少し借りるぞ」
※ワイルズはほかの研究をすべてストップし、未発表の研究を小出しにして表向きには偽装しつつ水面下でかつほぼ独力でフェルマー予想に挑んだという

<1993年>
ワイルズ「フェルマー予想解けた！」
数学者たち「！？」

…だがその論文を審査にかけてみると1か所致命的な誤りがあったという。

<1994年9月19日>
ワイルズ「もう諦めよう…最後に岩澤理論を見直してみ…………！！！！」
(本人曰く「夢じゃないかと思うような素晴らしい証明」が頭に浮かんだという」)

<1995年>
ワイルズの証明に不備がないことが確認され、360年もの歴史に決着がついた。

…余談だが、ワイルズが数学者になった理由は、フェルマーの最終定理に憧れたからである。