モナド(数学)

モナドとは、自己関手の圏のモノイド対象である。

概要

自然変換

関手S,T：C→Dが与えられたとき、自然変換ηを射の族(η_c：S(c)→T(c))_c∈Ob(C)であり、Cの任意の射f：X→Yに対して射の合成がη_Y∘S(f)=T(f)∘η_Xとなるものであるとする。この時、以下の図式が可換となる。

C			D
X		S(X)	ηX →	T(X)
↓f	S,T 　⇒	S(f)↓		↓T(f)
Y		S(Y)	→ ηY	T(Y)

各Xに対するη_Xをコンポーネントといい、この可換図式の性質を自然性という。

自然変換の合成

C,Dを圏とする。自然変換α：F→G、β：G→Hの合成β・αは以下のようになる。これを垂直合成という。

↗ C→ 　↘

F → α ⇓ →G β⇓ → H

↘ →D ↗

=

↗ C 　↘

F 　→ β・α ⇓ 　→ 　H

↘ 　D ↗

C,D,Eを圏、F,G：C→D、H,I：D→Eを関手、α：F→G、β：H→Iとする。

C

F → ⇓α → G

D

H → ⇓β →  I

E

関手の合成によりF∘H、G∘I：C→Eを作ることでCの対象XはF,G,H,Iを通してEの対象であるH(F(X))、I(F(X))、H(G(X))、G(I(X))へと移る。

H(F(X))	βF →	I(F(X))
↓Hα		↓Iα
H(G(X))	→ βG	I(G(X))

β∘αをこの対角方向の水平合成　β∘α=Iα∘βF=βG∘Hαと定義する。

下の可換図式はβ∘αが自然であることを示す。

C				E
X		H(F(X))	Hα →	H(G(X))	βG →	I(G(X))
↓f	⇒	↓H(F(f))		↓H(G(f))		↓I(G(f))
Y		H(F(Y))	→ Hα	H(G(Y))	→ βG	I(G(Y))

I_C：C→Cが圏Cについての恒等関手であり、1_C：I_C→I_Cが関手I_CからI_C自身への恒等自然変換であれば、恒等射を保存するので、1_C∘α=α、β∘1_Cを得て、1_Cは自然変換の水平合成∘における恒等射となる。同時に垂直合成・の恒等射でもある。

上の状況から合成自然変換の記法としてH∘α：H∘F→H∘G、β∘F：H∘F→I∘Fとすることができる。

C

F → ⇓α → G

D

H →

E

＝

C

H∘F 　→ ⇓H∘α 　→ H∘G

E

C

F →

D

H → ⇓β → I

E

＝

C

H∘F 　→ ⇓β∘F 　→ I∘F

E

また、以下の可換図式

↗ C→ 　↘

→ α ⇓ → β⇓ →

↘　↗ →D→ ↗　↘

→ γ⇓ → δ⇓ →

↘ →E ↗

において、自然変換の垂直合成および水平合成の恒等式(δ・γ)∘(β・α)=(δ∘β)・(γ∘α)を得る。これを相互交換法則という。

関手圏

上の関係から、自然変換は合成できることが分かった。関手を対象、自然変換を射と見れば、これは圏になるという事を示している。実際、C,Dを圏とするとき、D^Cを

• Ob(D^C)を圏Cから圏Dへの関手全体
• F,G∈Ob(D^C)に対し、自然変換η：F→Gを関手Fから関手Gへの射
• 射の合成を垂直合成・
• F∈Ob(D^C)とし、Fにおける恒等自然変換Id_Fを(Id_F)_X=Id_F(X)：F(X)→F(X)

で定義すれば圏となる。これを関手圏という。

随伴

圏C,Dと関手S：C→D、T：D→Cを考える。

C

S → ← T

D

この時、次の性質を持つ組〈S,T,φ〉をCからDへの随伴という。c,c'∈Ob(C)、d,d'∈Ob(d)とする。

Dの射　f：Sc→d　に右随伴射と呼ばれるCの射　g=φ(f)：c→Td　を割り当てる全単射で、すべてのCの射　h：c'→c　とDの射　k：d→d'　について自然性条件　φ(k∘f)＝T(k)∘φf、φ(f∘S(h))=φf∘h　が成り立つ。このとき、φ^-1(g)=fであり、φ^-1(g∘h)=φ^-1(g)∘S(h)、φ^-1(T(k)∘g)=k∘φ^-1(g)も成り立つ。

c'	h →	c	g=φ(f) 　→	T(d)	T(k) →	T(d')
↓S		↓S		↑T		↑T
S(c')	→ Sh	S(c)	→ f=φ-1(g)	d	→ k	d'

このような随伴が与えられたとき、SはTの左随伴、TはSの右随伴という。

この時、以下の性質を持つものが決定する。

• 各対象cについて射η_cがcからTへの普遍射であり、各f：Sc→aの右随伴がφ(f)=T(f)∘η_c：c→T(d)であるような自然変換η：I_C→T∘S。η_c：c→(T∘S)(c)、η_c=φ(id_S(c))
• 各対象dについて射ε_dがSからdへの普遍射であり、各g：c→Tdが左随伴射φ^-1(g)=ε_d∘S(g)：S(c)→dを持つような自然変換ε：S∘T→I_D。ε_d：(S∘T)(d)→d、ε_d=φ^-1(id_T(d))
• 次の２つの合成は恒等自然変換である。

S∘η S∘IC=S　→

S∘T∘S

ε∘S →　S=ID∘S

η∘T IC∘T＝T　→

T∘S∘T

T∘ε　 →　T=T∘ID

成分を書くと以下の通り。

C

→

IC →

→

C

C

→

IC →

→

C

S↘

⇓η

T↗

⇓ε

↘S

T↗

⇓ε

S↘

⇓η

T↗

D

→

→ ID

→

D

D

→

→ ID

→

D

ηを単位元、εを余単位元という。φから一意にη,εが決まるため、しばしば〈S,T,φ〉は〈S,T,η,ε〉と書かれる。

これにより、射の集合に同型写像Hom_C(c,Td)≅Hom_D(Sc,d)が存在する。

モナド

任意の自己関手U：C→Cは合成U²=U∘U：C→CやU³=U²∘U：C→Cを持つ。μ：U²→Uを、各x∈Ob(C)についてコンポーネントμ_x：U²(x)→U(x)を持つ自然変換とする。U∘μ：U³→U²はコンポーネント(U∘μ)_x=U(μ_x)：U³(x)→U²(x)を持つ自然変換であり、μ∘U：U³→U²はコンポーネント(μ∘U)_x=μ_Uxをもつ自然変換である。

圏CにおけるモナドU=〈U,η,μ〉とは、関手U:C→Cと2つの自然変換η：I_C→U、μ：U²→Uからなり、次の図式を可換にするものである。

U3	Uμ →	U2
↓μU		↓μ
U2	→ μ	U

ICU	ηU →	U2	Uη ←	UIC
	id↘	↓μ	↙id
		U

形式的にモノイドの定義とよく似ていることが分かる。

• モノイドの要素の集合M　⇔　自己関手U：C→C
• 単位元η：1→M　⇔　恒等自然変換　η：I_C→U

という対応関係がある。従ってηをモナドUの単位元と呼び、μを乗法を呼ぶ。はじめの図式はモナドの結合律を表し、2つ目の図式は右単位元律、および左単位元律を表している。

端的にいえば、圏Cのモナドとは自己関手の成す圏C^Cにおけるモノイドに他ならず、自己関手の合成∘に置き換えられる積と恒等自己関手により定まる単位元ηを持つ。

随伴により定義されるモナド

積の記号∘は省略する。圏C,Dに対し関手S：C→D、T：D→Cが随伴〈S,T,η,ε〉であると仮定する。η：id_C→TS、ε：ST→id_Dである。合成TSは自己関手となる。単位元と余単位元は水平合成により自然変換μ=TεS：TSTS→TS=Uを生じる。この置き換えを使うと先ほどの図式は以下のようになる。

TSTSTS	TSTεS 　→	TSTS
↓TεSTS		↓TεS
TSTS	→ TεS	TS

ICTS	ηTS →	TSTS	TSη ←	TSIC
	id↘	↓TεS	↙id
		TS

これは随伴に関する恒等式id=Tε・ηT：T→T、id=εS・Sη：S→Sを表す。まとめると、組〈TS,η,TεS〉を随伴により定義されるモナドという。

モナドに関する代数

〈U,η,μ〉を圏Xにおけるモナドとする。U-代数とは、対象x∈Ob(X)､Xの射h：Tx→xの組〈x,h〉からなり、以下の2つの図式を可換にする。

U2x	Th →	Ux		x	ηx →	Tx
μx↓		↓h			idx↘	↓h
Ux	→ h	x				x

U代数の射f：〈x,h〉→〈x',h'〉は図式

x	h ←	Tx
↓f		↓Tf
x'	← h'	Tx'

を可換にするfである。

〈U,η,μ〉がCにおけるモナドであるとき、全てのU-代数とその射の集合は圏（アイレンベルク・ムーア圏）を成し、C^Uと書く。CからC^Uへの随伴〈S^U,T^U,η^U,ε^U〉が存在し、関手S^U,T^Uはそれぞれ

〈x,h〉	TU →	x		x	SU →	〈U(x),μx〉
f↓		↓f		↓f		↓f
〈x',h'〉	→ TU	x'		x'	→ SU	〈U(x'),μx'〉

により与えられ、各U-代数〈x,h〉についてη^U=ηかつε^U〈x,h〉=hが成り立つ。この随伴によりCにおいて定義されるモナドは最初に与えられたモナドと一致する。

CからDへの随伴〈S,T,η,ε〉から初めて随伴によりCで定義されるモナドU=〈TS,η,TεS〉を構築し、その後U-代数の圏C^Uを構築するとする。このとき、T^UK=T、KS=S^Uを満たす一意な関手K：D→C^Uが存在する。つまり、次の可換図式が存在する。

D	K →	CU
S↓↑T		SU↓↑TU
C	=	C

多くの随伴でKは同型になり、このときのTをモナディックという。

例

• 群の作用　

Gが群である時、各集合Xについてx∈X、g₁,g₂∈G、Gの単位元eに関する定義

U(X)=G×X	ηx X→G×X	μx G×(G×X)→G×X
	x→〈u,x〉	〈g1,〈g2,x〉〉→〈g1g2,x〉

は集合の圏Set上のモナド〈U,η,ε〉を定義する。このときU-代数は集合Xと関数h：G×X→Xで、常にh(g₁g₂,x)=h(g₁,h(g₂,x))、h(e,x)=xが成り立つものである。h(g,x)をg・xと書くとこれらは通常の群Gの集合Xへの作用を定義する。

• 加群　

Rが環である時、各アーベル群Aについて、a∈A、r₁,r₂∈R、Rの単位元1に関する定義

U(A)=R⊗A	ηx A→R⊗A	μx R⊗R⊗A→R⊗A
	a→〈1,a〉	r1⊗(r2⊗a)→(r1r2⊗a)

はアーベル群の圏Ab上のモナド〈U,η,μ〉を定義する。このときU-代数はアーベル群Aと関数h：R⊗A→Aで常にh(r1r2,a)=h(r1,h(r2,a))、h(1,a)=aが成り立つものである。h(r,a)をr・aと書くとこれらは通常の環Rのアーベル群Aへの作用を定義する。

関連項目

• 数学
• 数学関連用語の一覧
• 圏論
• モナド/モノイド