ウリゾーンの距離化定理とは (ウリゾーンノキョリカテイリとは) [単語記事]

数学におけるウリゾーンの距離化定理とは、位相空間に対して、その位相と合致する距離を入れることができる（すなわち距離化可能である）ための条件について述べた定理である。具体的には、正則第二可算T₁空間は距離化可能というものである。

証明

ウリゾーンの補題などを使う。以下の事実に注意する；

第二可算空間はリンデレーフ
正則リンデレーフ空間は正規
正規（T₁）空間Xの閉集合Fと開集合F⊂Uに対して、f(F)=1,f(X＼U)=0なる連続写像f:X→[0,1]が存在する（ウリゾーンの補題）

1,2については最後に示す。

Xを正則第二可算T1空間とする。上の注意より、Xは正規空間である。{B_n|n∈N}をXの可算な開基とする。E={(n,m)∈N²|Cl(B_n)⊂B_m}と置く。これは可算集合。Eの元を自然数Nで添え字付けてE={e(n)=(k(n),l(n))|n∈N}と置く。

ウリゾーンの補題より各e(n)=(k(n),l(n))∈Eに対し連続写像f_n:X→[0,1]であってf_n(Cl(B_k(n)))={1},f_n(X＼B_l(n))={0}を満たすものが存在する。

f:X→[0,1]^Nをf(x)=(f_n(x))_n∈Nで定めると、これは連続。

二点x≠yに対しx∈B_k(n)⊂Cl(B_k(n))⊂B_l(n),y∈B_l(n)となるnをとればf_n(x)=1,f_n(y)=0となりf(x)≠f(y)ゆえfは単射。

各xと近傍x∈Uに対してx∈B_k(n)⊂Cl(B_k(n))⊂B_l(n)⊂Uとなるnをとり、f(x)の近傍を

　V=Π_i=1^n-1[0,1]×{1}×Π_i=n+1^∞[0,1]

と定めると、f^-1(V)⊂Uとなるのでこれからf^-1:f(X)→Xは連続であることがわかる。

[0,1]^Nの距離をDとするとd:X×X→[0,∞)をd(x,y)=D(f(x),f(y))で定めればこれはX上の距離となる。よって示された。

上の注意1,2の証明を簡単に述べる。

第二可算空間Xがリンデレーフであることを示そう。開被覆{U(λ)|λ∈Λ}と可算な開基{B(n)|n∈N}を任意に取る。各点x∈Xに対しあるλ∈Λがあってx∈B(n)⊂U(λ)となるn全体をAと置くと、Aは可算で{B(n)|n∈A}はXの開被覆。各B(n)に対しB(n)⊂U(λ)なるλをひとつずつとりλ(n)とおけば{U(λ(n))|n∈N}は元の開被覆の可算部分被覆。

最後に正則リンデレーフ空間Xが正規であることを示そう。F,Hを空でない交わらない閉集合とすればF,Hもまたリンデレーフ。各点x∈Fに対して正則性からCl(U(x))⊂X＼Hとなるxの開近傍U(x)をとってくると、{U(x)|x∈F}はFの開被覆なので可算個のx_n∈Fにより{U(x_n)|n∈N}がFの開被覆となるようにできる。Hでも同じことをしてHの可算開被覆{V(y_n)|n∈N}、y_n∈N、Cl(V(y_n))⊂X＼Fをとる。