距離

概要

距離（英：distance）とは、2点の離れ具合を表す尺度である。

距離の公理

数学では2点AとBに対し実数を与える関数 d(A,B) が以下を満たすとき、距離という。

• d(A,B) ≧ 0
  距離は0以上であり、負にはならない。
• d(A, B) = 0 ⇔ A = B
  距離が0ならばAとBは同じ点であり、AとBが同じ点ならば距離は0である。
• d(A, B) = d(B, A)
  AからBへの距離と、BからAへの距離は等しい。
• d(A, B) ≦ d(A, C) + d(C, B)
  AからCに寄り道してBに行くとき、その距離はAからBへの距離以上になる。いわゆる「三角不等式」。

我々が日常「距離」と呼んでいるものに一番近いのは、平面上の2点間の直線距離（ユークリッド距離: 後述）だと思われる。

逆にこれらの公理さえ満たしていれば、直感的に「距離」が考えられなさそうな対象にも後述のように距離を入れることが出来る。これが距離を公理化するありがたみである。

距離の一覧

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• ユークリッド距離
  2点間の直線距離。XY平面上の2つの点 P₁=(x₁,y₁)、P₂=(x₂,y₂) の間の距離を d(P₁,P₂) = √((x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²) と定める。XYZの3次元空間上では同様に d(P₁,P₂) = √((x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²+(z₁-z₂)²) と定める。4次元以上のベクトルについても同様に距離が定義できる。
• ハミング距離
  2つの長さが同じ文字列が与えられたとき、異なっている文字の数を与える関数。たとえば d(niconico, nuconuco) = 2 など。名前は考案者ハミング（Hamming）に由来するもので、鼻歌（humming）は関係ない。
• マンハッタン距離
  2点間を座標軸に沿って移動する時の距離。ボンバーマンにとっての距離と考えると分かり易い。
• マハラノビス距離
  要素ごとに尺度の異なるベクトルを扱う際に使用される事がある距離（たとえば身長をx、体重をyとしたベクトルを扱うような統計処理のなど）。要素間の共分散を考慮に入れて距離を算出する。
• ハウスドルフ距離
  2つの図形を比較したりする統計処理に使われたりするらしい。
• 二人の距離
  なぜか縮まらない。

関連動画

関連項目

数学 幾何学 非ユークリッド幾何学 距離-distance

距離化定理 ウリゾーンの距離化定理 アレクサンドロフ=ウリゾーンの距離化定理 ビング=長田=スミルノフの距離化定理 Arens-Eellsの埋め込み定理