フォイエルバッハの定理

初等幾何学においてフォイエルバッハの定理とは、三角形の九点円と内接円が内接し、九点円と傍接円が外接する、という定理である。

証明

傍接円に関しても内接円の場合と同様に示される。三角形をABCとする。AB>ACとしても良い。

∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとし、辺BCの中点をMとする。△ABCの内接円とBCの接点をLとし、M中心で半径MLの円をΓとする。このとき、内接円をΓで反転しても内接円に写ることがわかる。

CからADに降ろした垂線の脚をN、CNとABの交点をEとおく。このときCE=2CNである。よって中点連結定理よりMNとABは平行で、BE=2MN、∠MND=∠BAD=∠DACとなる。また、AE=ACとなるので、

　MN=(1/2)BE=(1/2)(AB-AC)

となる。Lは内接円とBCの接点だったので、AB>ACより

　ML=BL-BM=(1/2)(AB+BC-AC)-(1/2)BC=(1/2)(AB-AC)=MN

がわかる。

AからBCに降ろした垂線の脚をHとすると、∠CNA=90°=∠AHCなので４点A,N,H,Cは同一円上にあり、従って

　∠NHM=∠NAC=∠DAC=∠MND

がわかる。よって接弦定理と方べきの定理よりMH*MD=MN^2=ML^2がわかり、これよりHをΓで反転するとDに来ることがわかる。

九点円はMを通りHを通るので、九点円をΓで反転するとDを通る直線に写ることがわかる。この直線がDEであることを示せば、DEは内接円と接するので定理が証明されたこととなる。

ACの中点をXとする。MNはABと平行なのでM,N,Xは同一直線上にある。MXとDEの交点をYとして、XをΓで反転したときYに来ることを示せば良い。

MYとABは平行なので△DMY∽△DBEであり、よって

　MY*MX=BE*(DM/DB)*(1/2)AB=(1/2)BE*AB*DM/DB=MN*AB*ML^2/(DB*MH)

　=ML^2*(AB/DB)*1/(MH/MN)

となる。あとはAB/DB=MH/MNが示せれば良いが、既に述べた通り、∠NHM=∠BAD、∠NMH=∠ABDなので△MHN∽△BADであり、これより従う。

以上より示された。◻︎

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関連項目

• 数学
• 幾何学