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幾何学とは、図形について考察する数学の一分野である。

現代の幾何学では所謂"幾何学的"な整然とした図形だけでなく、より広範な対を扱う。

概要

発祥は非常に古く、古代オリエントナイル川流域における測量に端を発すると言われている。

ナイル川流域は年に一度氾濫を起こし、氾濫が終わった後には肥沃な土壌を上流から運んでいた。しかし、氾濫により一帯が全て洗い流されてしまうため、氾濫後には土地を元通りに配分しなくてはならなかった。このような背景の下、古代オリエントでは測量術が発達し、測量術から生する形で幾何学は誕生した。ラテン語Geometria英語Geometryと表記するのもその名残(geo- : 土地の -metry : 測定法)である。

この時代の有名な発見物として、辺の長さのが3:4:5の直三角形がある。この三角形により、簡単な整数から直を作ることが可となった。

その後古代ギリシアいて研究が進み、大きな発展を遂げる。特筆すべきは明という手法を導入した点にある。現在から考えれば当たり前のような手法かもしれないが、僅かな前提(公理準)から、当然とは思えないような結論(公理)を厳密な演繹により導き出すこの手法は、当時としては画期的な手法であった。この時代の要な人物としてはターレスピタゴラスユークリッドなどが挙げられる。中でもユークリッドは『原論』を著わし、この時代における明の手法を完成させたと言われる。

ユークリッドの提案した公理準は以下である。

  • 公理1: 同じものと等しいもの同士は互いに等しい.
    (A=BならB=A, A=BかつB=CならA=C.)
  • 公理2: 同じものに同じものを足した場合、その合計は等しい.
    (A=BならA+X=B+X.)
  • 公理3 同じものから同じものを引いた場合、その残りは等しい.
    (A=BならA-X=B-X.)
  • 公理4 互いに一致するものは、互いに等しい.
  • 公理5 全体は部分より大きい.
  • 準1 任意の1点から他の1点へ線を引くことができる.
  • 準2 有限の直線は連続的にまっすぐ延長することができる.
  • 準3 任意の点を中心に、任意の半径の円を描くことができる.
  • 準4 全ての直は等しい.
  • 準5 1本の直線Aが2本の直線B,Cに交わるとする。このとき、同じ側の内が2直未満であれば、B,Cを限に延長すれば何処かで交差する(行線は交わらない).

以来、長らくユークリッドが体系化した「ユークリッド幾何学」は一の幾何学として研究が進められていた。というのも、直感的に納得のできる間のあり方での幾何学だったからである。その一方で、準5(行線準)については長らく妥当性に疑問が投げ掛けられていた。行線準の明は、正に「世紀の難問」だったのである。

19世紀にフリードリヒガウス準5(行線準)を「行線は交差する」と置き換えても整合性のある幾何学が成立する可性を示唆した。これにより、後年に非ユークリッド幾何学が生み出された。余談だが、ガウス自身は宗教紛争に巻き込まれることを嫌って非ユークリッド幾何学を提唱することはなかった。

現在でも数学要な地位を占めていることは変わらず、多くの生分野を生み出している。代表例は以下の通りである。

"幾何"の語源について

一般にはGeometriaの"geo"を中国語に音写したものが"幾何"であると説明されるが、実際には正しくないようである。

近年の研究によれば、清代に中国に滞在したイエズス会士が計量のことを"幾何"と翻訳していたようであり、どちらかといえばGeometriaの"metria"を中国語訳したものであるというのが正しいようである。

詳細については、以下の論文が詳しいので興味のある者は参照するといいだろう。

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  • 21ななしのよっしん

    2016/05/08(日) 13:05:17 ID: likjfCV5Hz

    綿棒多面体の人どうしてしまわれたんだ…?
    渋の方でもアクセスできなくなってるし…。
    ストレンジアトラクタの人も退会してしまったし、寂しい。

  • 22ななしのよっしん

    2018/02/15(木) 22:56:24 ID: YEh+9meecp

    どうでもいいけど「幾何」って漢字かっこいいよね(中二病並感)

  • 23ななしのよっしん

    2021/02/25(木) 10:22:50 ID: U9RvRz29Nd

    学校算数とか数学でやる「図形問題」と同じような意味かな?

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最終更新:2022/08/17(水) 01:00

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