自然対数の底とは (シゼンタイスウノテイとは) [単語記事]

自然対数の底(しぜんたいすうのてい)とは、

2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669...

と表される超越数である。「しぜんたいすうのそこ」ではないので注意。

一般的に

lim_n→∞(1+1/n)ⁿ…①

で定義される値である。
もしくは

lim_n→0(1+n)^1/n…②

で書く場合もある。　
これは高校、大学等によって異なる時もあれば両方教える時もある。

また、

Σ(n=0→∞)(1/n!)=1+1+1/2!+1/3!+…　…③

の計算でも求めることができる。

概要

慣習的にアルファベットの e で表される。

対数の研究に業績のあるイギリスの数学者ジョン・ネイピアの名前から「ネイピア数」とも呼ばれる。レオンハルト・オイラーの業績により「オイラー数」とも呼ばれる。

指数関数や対数関数の微分を考えたときに、この数を考えることが避けて通れないのである。実際、a > 0, a ≠ 1 のとき

指数関数 a^x の微分は a^x log_ea である。特に e^x の微分は e^x である（形が変わらない）。
対数関数 log_ax の微分は 1/(x log_ea) である。特に log_ex の微分は 1/x である。

という性質があり、これらの性質より、

指数関数 Ae^x(Aは定数)はxで微分しても変化せず、関数の値と導関数の値（接線の傾き）が等しい
指数関数a^xのx=0における接線の傾きが1となるaの値がe
双曲線y=1/xとx軸に挟まれた部分の面積を自然対数 log_exを用いて表すことができる（特に、1≦x≦tかつ0≦y≦1/xを満たす領域の面積をlog_etで表すことができ、t=eのとき面積が1となる）

などのことが分かる。

特に、反比例のグラフy=1/xの下の面積を用いた説明は、微分・積分を習っていない中学生などにも分かりやすい説明であろう。

また、指数関数e^xのテイラー展開は

e^x=Σ(n=0→∞)(1/n!)xⁿ=1+x+x²/2!+x³/3!+…　（xは任意の実数。ただし0⁰=1とする）

と表され、これにx=1を代入したのが上記の③の式である。

このように、微分において非常に扱いやすい数であるため、指数・対数関数というとeを連想する人も多いだろう。e^xはexp(x)、log_e xをlog xと書く場合もある。しかし、log xは常用対数でも用いられるので、混同を避けるためln xと書くこともある。

また、この数字は、確率論にも登場する。

「n本中1本のみが当たりのくじをn回引いて当たりが1回も出ない確率」を考える（なお、引いたくじは元に戻す）。

1回引いて当たりが出ない確率は(1-1/n)であり、n回引いて1回も当たりが出ない確率は(1-1/n)ⁿとなる。

n→∞とすると、この確率は1/eに近づくことになる。

また、「1～nの番号のついたカードを、1～nの番号のついた封筒に入れる時、カードと封筒の番号が1組も一致しない確率」「n人のクラスで席替えをするとき、前と同じ席の人が1人もいない確率」などを考えると、導出過程は省略するが、この確率はΣ(k=0→n)(1/k!)(-1)^kと表され、n→∞とすると、この確率は1/eに近づく（上記のテイラー展開の式にx=-1を代入した形となる。）。