Sierpinskiの不等式とは、数学において相加平均と相乗平均と調和平均に関して成り立つ以下の不等式のことである。
Ann-1Hn ≧ Gnn ≧ AnHnn-1
ただしここでただしここで An,Gn,Hn はそれぞれ n 個の正の数 x1,...,xn の相加平均と相乗平均と調和平均である。
D.S.Mitrinovic と P.M.Vasic による次の拡張がある。;
Ann-1Hn/Gnn ≧ An-1n-2Hn-1/Gn-1n-1 ≧ ... ≧ A2H2/G22 = 1 ≧ ... ≧ An-1Hn-1n-2/Gn-1n-1 ≧ AnHnn-1/Gnn
証明
Ann-1Hn/Gnn ≧ An-1n-2Hn-1/Gn-1n-1 だけでよい。An-1Hn-1n-2/Gn-1n-1 ≧ AnHnn-1/Gnn のほうは各 xi を 1/xi で置き換えれば前者に帰着される。
Gnn = xnGn-1n-1 , n/Hn = (n-1)/Hn-1 +1/xn-1 に注意して整理すると
Ann-1Hn/Gnn ≧ An-1n-2Hn-1/Gn-1n-1 ⇔ nAnn-1/An-1n-2 ≧ xnHn-1*n/Hn = (n-1)xn + Hn-1
左辺はベルヌーイの不等式より
nAnn-1/An-1n-2 = nAn-1(An/An-1)n-1 ≧ nAn-1(1+(n-1)(An-An-1)/An-1) = n((n-1)An+(n-2)An-1)
= n(nAn-(n-1)An-1 - An+An-1) = n(xn-An+An-1)
となるので、
n(xn-An+An-1) ≧ (n-1)xn + Hn-1
を示せば良いが
⇔ xn+(n-1)An-1-nAn + An-1 = An-1 ≧ Hn-1
両辺の対数をとって xn の関数と見て極小値を求めても示せる。
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関連項目
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