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tan1∘tan⁡1∘ が有理数であると仮定して矛盾を導く。
tantan の倍角公式より tanαtan⁡α が有理数なら tan2αtan⁡2α も有理数である。
よって，tan2∘,tan4∘,⋯,tan64∘tan⁡2∘,tan⁡4∘,⋯,tan⁡64∘ も全て有理数であることが分かる。
また，tantan の加法定理：
tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβtan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡αtan⁡β
より tanα,tanβtan⁡α,tan⁡β が有理数なら tan(α−β)tan⁡(α−β) も有理数。
よって 64−4=6064−4=60 なので tan60∘tan⁡60∘ も有理数。
しかし tan60∘=3√tan⁡60∘=3 なので矛盾。

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