コンパクト

コンパクトとは、

1. 小さくまとまっていること。コンパクトカー、コンパクトディスクなど。
2. 化粧道具の一つで、鏡のついている手のひらサイズのファンデーション。セーラームーンはこれで変身する。
3. 集合上に定義されたある数学的性質。

である。3について記述する。

概要

コンパクトとは、以下の性質をいう。

Xを位相空間とする。Xの開被覆

• X=∪_α∈AO_α　（O_αはXの開集合）

を任意に与えた場合、有限個のα₁, α₂,…α_m∈Aを取り出して、

• X=∪^m_i=1O_αi

とすることができる。

言い換えると、ある位相空間Xを開集合O_α∈Aのあつまりで不足なく覆えたとき、O_αが非加算無限個であっても、必ずある有限個のO_mを取り出せばXを十分多い尽くすことができるという性質である。正確ではないが、Xは有限の大きさを持つ閉集合というイメージが近い。

次の捕題は位相空間がコンパクトであるための条件を与える。

• Fを実数、複素数、または四元数とする。n次ベクトル空間Fⁿ、m行n列の行列の集合M(m,n,F)の有界閉集合はコンパクトである。逆に、Fⁿ,M(m,n,F)の部分集合がコンパクトであれば有界閉集合となる。
• Xを距離空間とする。Xの任意の点列が収束する部分点列を持つとき、Xはコンパクトである。逆に、XがコンパクトであればXの任意の点列は収束する部分点列を持つ。

次の性質は重要である。

• コンパクト空間X上で定義された連続関数f：X→Rは最大値および最小値を持つ。
• コンパクト空間Xの閉集合Yはまたコンパクトである。
• X,Yをコンパクト空間であるとすると、直積空間X×Yもコンパクト空間になる。

コンパクトという性質を仮定することで関数の連続性や収束、表現などの議論がしやすくなる。逆に言うと、コンパクトでない位相空間について議論することは難しいので、いまだに未知のことが多い。

例

• 実数、複素数全体はコンパクトではない。
• (0,1)、(0,1]、[0,1)はコンパクトではない。[0,1]はコンパクトである。
• Gを位相群とするとき、Gの閉部分群Hはコンパクト群になる。

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関連項目

• 数学
• 数学関連用語の一覧
• 位相
• 位相空間、距離空間