9の段

9の段(くのだん/きゅうのだん)とは、掛け算九九において、9をかける段である。

概要

• 9×1=09 くいちが く
• 9×2=18 くに じゅうはち
• 9×3=27 くさん にじゅうしち
• 9×4=36 くし さんじゅうろく
• 9×5=45 くご しじゅうご
• 9×6=54 くろく ごじゅうし
• 9×7=63 くしち ろくじゅうさん
• 9×8=72 くは しちじゅうに
• 9×9=81 くく はちじゅういち

多くの場合、掛け算九九の最後に学習する段。
1桁の数で最大の数をかけるため、積も大きな数になる。

「9×8」までは、それまでの段で「○×9」の形で覚えているため、ひっくり返すだけでよい。
したがって、今までの九九をしっかり覚えていれば、この段で覚えるのは「9×9=81」だけである。

今まで登場してきた「×9」がオールスターで襲いかかり、さながら特撮の再生怪人戦やゲームのボスラッシュを連想させる。
そして最後の「くく はちじゅういち」には表題の「九九」が登場し、積は唯一の80台となる。この演出はアニメ最終回、ラスボス回のサブタイトルをあえて作品タイトルと同一とするかのような小粋さを感じさせる。

小学校2年生2学期のクライマックスを飾るにふさわしい段といえ、81もの数式を覚えた者にはそれに足るカタルシスが与えられるだろう。

9の段の不思議

→指九九

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9の段は、順番に並べると十の位が1ずつ上がり、一の位が1ずつ下がるという性質がある。

この性質は、以下のようにも言い換えられる。

9×nを計算するには、10本の指を広げ、左からn番目の指を折る。折った指の左側にある指の本数が十の位、右側が一の位である。

いずれにせよ、これらの主張は以下のようにまとめられる。

9×nの積は、十の位がn-1、一の位が10-nである。

数式で表せば、以下のようになる。

9n=10(n-1)+(10-n)

上記を証明する。

式変形による証明

9n
=10n-n
=10n-10+10-n
=10(n-1)+(10-n) Q.E.D.

そろばんによる証明

掛け算は、かける数を1増やせば、積がかけられる数の分だけ増える。
すなわち、9の段のかける数を1増やせば、積は9増える。

さて、そろばんで9を足すには、1を引いて10を足す。
すなわち、一の位は1減り、十の位は1増えるのである。

数式で表せば、以下のようになる。

等差数列a_n=9nにおいて、漸化式は a_n+1=a_n+9
これを変形すれば、a_n+1=a_n+10-1

他の段も同様に、8の段は「一の位が2減って十の位が1増える」、7の段は「一の位が3減って十の位が1増える」と考えることができる。しかし、9の段以外では一の位がそのうち引けなくなって繰り下がりをすることになるので、見た目が美しくならないのだ。

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• 九九の９の段の｢今まで倒してきたボスが復活して襲いかかってきた｣感

関連項目

• 算数 / 数学
• 九九
• 掛け算