メルセンヌ数

メルセンヌ数とは、2ⁿ-1(n:自然数)で表現できる自然数である。

概要

2ⁿ-1(n:自然数)で表現できる自然数、つまりは2の累乗から1を引いた数である。

…とだけ言うとなにやら難しそうに見えるが、2進数で表現すると111…1というようにn桁の1がずらりと並ぶ為、結果的にコンピュータが表現することのできるn桁の整数の上限となっている。例えば127(n=7), 255(n=8), 65535(n=16)など。

そういう意味では、メルセンヌ数という名前を知らずとも身近に感じる人も少なくないのではないだろうか。ゲームでしばしばカンストしたりオーバーフロー直前の最高値だったりする、アレである。

2ⁿ-1が素数となるものを「メルセンヌ素数」と呼ぶ。リュカ・テストなどの素数判定法が知られているため、メルセンヌ数は巨大素数の発見に貢献している。実際、2018年2月現在知られている最大の素数もメルセンヌ素数（2^77232917-1）である。

メルセンヌ数の一覧（n≦30）

1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023

2047 4095 8191 16383 32767 65535 131071 262143 524287 1048575 2097151 4194303 8388607 16777215 33554431 67108863 134217727 268435455 536870911 1073741823 

2147483647 4294967295 8589934591 17179869183 34359738367 68719476735 137438953471 274877906943 549755813887 1099511627775 2199023255551 4398046511103 8796093022207 17592186044415 35184372088831 70368744177663 140737488355327 281474976710655 562949953421311 1125899906842623

関連項目

• マラン・メルセンヌ
• メルセンヌ素数 / メルセンヌ・ツイスタ
• 素数
• レピュニット（十進法で111...1と書ける数）
• カンスト