OD(センター試験)

ODとは、2013年センター試験の数学①(Ⅰ・A)第3問で出てきた線分のことである。

概要

センター試験の数学①第3問では毎年三角比と平面図形の融合問題が出題されている。
「最初に△ABCの辺や角度を求める問題を解き、途中から内接円や外接円、線分が追加されていきそれらに関する問題を解く」
というのがテンプレであり、過去のセンター試験や予備校の模試ではこのようなテンプレ問題ばかりだった。
2013年もテンプレ通りであると誰もが思っていたであろう。
しかし、出題された内容はテンプレの△ABCではなく、2つの円という今までにない内容であった。
それでも最初の問題くらいはどうにかなるだろう、と思いたくなるがそう甘くはなかったのが2013年のセンター試験。
なんと、2問目であるODを求める問題を解けずに終わってしまった受験生が続出したのだ。
ODは多くの受験生にトラウマを残す存在だったのである。

問題の内容と解説

点を中心とする半径3の円Oと、点Oを通り、点Pを中心とする半径1の円Pを考える。
円Pの点Oにおける接線と円Oとの交点をA、Bとする。
また、円Oの周上に、点Bと異なる点Cを、弦ACが円Pに接するようにとる。
弦ACと円Pの接点をDとする。
このとき、

AP=√[アイ]	OD=	[ウ]√[エオ]
		[カ]

である。

図を描くとこのような感じになる。

APの求め方

ABは点Oを通る円Pの接線、点Oは円Pの接点なので、∠AOP=90°、OP=1、AO=3
三平方の定理より、AP²=OP²+AO²　AP²=1+9　AP²=10　AP=±√10
AP>0なので、AP=√10　(√[アイ]=√[10])

ODの求め方

ACは点Dを通る円Pの接線、点Dは円Pの接点なので、DP=1 、∠ADP=90°
三平方の定理より、AD=3
△AOPと△ADPは対応する3辺の長さがすべて等しいので、△AOP≡△ADP
ここで、APとODとの交点をQとする。
△AOP≡△ADPなので、2OQ=OD、∠OQP=90°
∠APO=∠OPQ、∠AOP=∠OQPだから、△AOP∽△AOQ

AP:OP=√10:1なので、AO:OQ=√10:1　OQ=3×	1	=	3√10
	√10		10

よって、OD=2OQ=2×	3√10	=	3√10	(	[ウ]√[エオ]	=	[3]√[10]	)
	10		5		[カ]		[5]

別解

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関連項目

• センター試験
• 数学
• 三角形
• 円
• 比
• Pat
• スピンスピン
• 555-456-0721
• みんなのトラウマ