OD(センター試験)

ODとは、2013年センター試験の数学①(数学Ⅰ・数学A)第3問で出てきた線分のことである。

概要

センター試験の数学①第3問では毎年、三角比と平面図形の融合問題が出題されている。
「最初に△ABCの辺や角度を求める問題を解き、途中から内接円や外接円、線分が追加されていきそれらに関する問題を解く」
というのがテンプレであり、過去のセンター試験や予備校の模試ではこのようなテンプレ問題ばかりだった。
2013年もテンプレ通りであると誰もが思っていたであろう。
しかし、出題された内容はテンプレの△ABCではなく、2つの円という今までにない内容であった。
それでも最初の問題くらいはどうにかなるだろう、と思いたくなるがそう甘くはなかったのが2013年のセンター試験。
なんと、2問目であるODを求める問題を解けずに終わってしまった受験生が続出したのだ。
ODは多くの受験生にトラウマを残す存在だったのである。

問題の内容と解説

点Oを中心とする半径3の円Oと、点Oを通り、点Pを中心とする半径1の円Pを考える。
円Pの点Oにおける接線と円Oとの交点をA、Bとする。
また、円Oの周上に、点Bと異なる点Cを、弦ACが円Pに接するようにとる。
弦ACと円Pの接点をDとする。
このとき、

AP=√[アイ]	OD=	[ウ]√[エオ]
		[カ]

である。

図を描くとこのような感じになる。

APの求め方

ABは点Oを通る円Pの接線、点Oは円Pの接点なので、∠AOP=90°、OP=1、AO=3
三平方の定理より、AP²=OP²+AO²　AP²=1+9　AP²=10　AP=±√10
AP>0なので、AP=√10　(√[アイ]=√[10])

ODの求め方

ACは点Dを通る円Pの接線、点Dは円Pの接点なので、DP=1 、∠ADP=90°
三平方の定理より、AD=3
△AOPと△ADPは対応する3辺の長さがすべて等しいので、△AOP≡△ADP
ここで、APとODとの交点をQとする。
△AOP≡△ADPなので、2OQ=OD、∠OQP=90°
∠APO=∠OPQ、∠AOP=∠OQPだから、△AOP∽△AQO

AP:OP=√10:1なので、AO:OQ=√10:1　OQ=3×	1	=	3√10
	√10		10

よって、OD=2OQ=2×	3√10	=	3√10	(	[ウ]√[エオ]	=	[3]√[10]	)
	10		5		[カ]		[5]

別解その1(面積)

別解その2(倍角の公式：IAの範囲を逸脱)

∠OAD=2*∠PODを出すところまでは最初と同様に相似を用いて示す。

ここで、x=∠PODとして倍角の公式を用いる：

cos(2x)=cos(x+x)=2cos²(x)-1.

△OADと△PODに対して第2余弦定理を用いる。

OD²=OA²+AD²-2*OA*AD*cos(2x)

PD²=OP²+OD²-2*OP*OD*cos(x)

cos(x)とODについての連立方程式として解けば、当然ながらODは正の値なのでODは一意に定まる。

※倍角の公式は数学IAでは出てこない。

別解その3(トレミーの定理（プトレマイオスの定理）：エレガント過ぎる)

四角形AOPDは、対角の和が180度なので、この四角形はある円に内接する。
(更にいうと、その「ある円」の直径の一つは他ならぬAPであるが、ここでの計算では関係ない)

トレミーの定理：

円に内接する四角形について、
「(2本の対角線の長さの積)=(向かい合う辺同士の積の和)」
が成り立つ

これを四角形AOPDに適用すると

AP*OD=AD*OP+AO*PD

OD以外の値は全て今までの計算で求まっているのでODはすぐ求まる。

※トレミーの定理は高校生が必ずしも覚える必要のある定理ではないが、今回に限らず早解きに役立つ場面も多い有用な定理である。

別解その４(三平方の定理を2つ使う)

APとODが交わる点をD'とする。△AOPについて考える。PD'=xとすると、D'A=√10-xである。また、DD'をhとする。

△AOPについて、D'はDから引いた垂線であるから、△ADD'と△PDD'はどちらも直角三角形である。それぞれに三平方の定理を使うと、

3²=h²+(√10-x)²
1²=h²+x²

が成り立つ。これを連立して解くと、

x=1/√10
h=3√10/10

が求められる。

よって、OD=2DD'=2hであるから、

OD=2*3√10/10
　　 =3√10/5

ある三角形に対して垂線をひき、三平方の定理を2つ使いその長さを求める方法である。もちろん数学ⅠAの範囲である。
強引な解き方だが、どんな三角形に対しても導出することができる万能型である。難しい数学的なテクニックなどは要らないものの、ほかの解法に比べて計算量が膨大であるので限られた時間でミスなく導く正確さが求められる。

別解その5(三角形の各辺と垂線の関係式を使う)

上の関係式を使うと、

OD =	2*OA*OP	=	2*3*1	=	6	=	3√10
	AP		√10		√10		5

なお、この関係式は三角形の相似によって導くことができる。

AA

┌──┐ │　　　解　　　　　答　　　　　欄
│ 3.  │ ├────────────────
└──┘ │－ ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ａ
　 ┌──┼─────────────────
　 │ ア│ Θ◎ ● ②③④⑤⑥⑦⑧⑨＠
　 │ イ│ Θ ● ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨＠
　 │ ウ│ Θ◎①②③④⑤⑥⑦⑧⑨＠
　 │ エ│ Θ◎①②③④⑤⑥⑦⑧⑨＠
　 │ オ│ Θ◎①②③④⑤⑥⑦⑧⑨＠
　 ├────────────────────
　 │ カ│ Θ◎①②③④⑤⑥⑦⑧⑨＠


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関連項目

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