アレクサンドロフ=ウリゾーンの距離化定理

アレクサンドロフ=ウリゾーンの距離化定理（Alexandroff-Urysohn's metrization theorem）とは、正規列をなす展開列をもつ位相空間は距離化可能であるという定理である。

定義

まずは定理の内容を理解するために、開被覆の性質を区別する言葉の定義をしよう。

位相空間Xの開被覆U={U_a|a∈A}と、A⊂Xに対して、St(A,U)=∪{U_a∈U|A∩U_a≠∅}、St(x,U)={U_a∈U|x∈U_a}と定め、U*={St(A,U)|A∈U}、U^⊿={St(x,U)|x∈X}と定める。これらはXの開被覆である。

集合族UとVに対して、任意のA∈Uに対しあるB∈VがあってA⊂Bとなるとき、UはVを細分するといい、U<VとかV>Uなどと書く。

開被覆Uは、次を満たす開被覆の列(U_n)_n∈Nがあるとき、正規であるといい、これを満たす開被覆の列を正規列という；U=U₀>U₁^⊿>U₁>U₂^⊿>U₂>...

開被覆の列(U_n)_n∈Nは、{St(x,U_n)|n∈N}がxの基本近傍系となるとき、展開列であるという。

証明

空間Xに対して正規列(U_n/2)があるときに、Xに対して次を満たす擬距離dが存在することを示す；

　U_n+1^⊿ < {S(x;2^-n)|x∈X} < U_n^⊿

ただし S(x;2^-n) = { y∈X | d(x,y)<2^-n } は開球（Xの位相でも開となっている）。

まずU₀={X}とおく。(U_n/2)が正規列であるから、(U_n) は U_n > U_n+1* を満たす。

　D(x,y) = inf { 2^-n | y∈St(x,U_n) }

　d(x,y) = inf { Σ_i=0^k-1D(x_i,x_i+1) | x₀=x,x_k=yとなる任意有限個の点x_i,i=0,...,kをすべて取る }

とおく。この d は d(x,x)=0 , d(x,y)=d(y,x) ≧ 0, と三角不等式を満たす。

条件を満たす擬距離であることを示すために、

　☆　∀x∈X,∀n∈N, St(x,U_n+1) ⊂ S(x,2^-n) ⊂ St(x,U_n)

を示す。

後半の包含関係は d(x,y) ≦ D(x,y) から明らか。後半を示すために、次の不等式を示す；

　＊　∀x_i∈X,i=0,1,...,k, D(x₀,x_k) ≦ 2Σ_i=0^k-1D(x_i,x_i+1)

これが示されれば D(x,y)/2 ≦ d(x,y) となるので前半の包含関係がわかる。

帰納法で示す。k=1について＊は成立するから、ある r があってすべての k ≦ r に対して＊が成立したと仮定する。a=Σ_i=0^rD(x_i,x_i+1) とおき、

　s = max { j | Σ_i=0^j-1D(x_i,x_i+1) } < a/2

と置く。sは上を満たすもののうち最大だから Σ_i=j+1^rD(x_i,x_i+1) } ≦ a/2 となる。

仮定より、D(x₀,x_s),D(x_s+1,x_r+1),D(x_s,x_s+1) ≦ aである。

2^-m≦aとなる最小のmをとれば、D(x₀,x_s),D(x_s+1,x_r+1),D(x_s,x_s+1) ≦ 2^-m であるから、あるU∈Umについて、x_s,x_s+1∈Uとなる。このとき x₀,x_r+1 ∈ St(U,U_m) である。U_m*<U_m-1なので、x_r+1∈St(x₀,U_m-1) となる。

これより D(x₀,x_r+1)≦2^-m+1≦2a が成立し、＊が示された。以上で☆が従う。

さて、dが☆を満たすとき。条件のような細分が成立することは明らかであるから、開球が開集合であることを示そう。y∈S(x;2^-n) に対して S(y;2^-m) ⊂ S(x;2^-n) なるmをとれば、

　St(y,U_m+1) ⊂ S(y;2^-m) ⊂ S(x;2^-n)

となり、開であることがわかり、以上でこの擬距離の存在がわかった。

さて、展開列となる正規列がとれたとする。するとこの擬距離は距離となり、☆から距離の位相と元の位相が一致していることがわかる。これから定理が従う。◻︎

応用

この定理を使えば、第一可算T₀位相群が距離化可能であるというBirkhoff-角谷の定理を示すことができる。Gを第一可算T₀位相群とする。このときGはハウスドルフである。単位元eの単調減少な開近傍の族で基本近傍系をなすものをとり、{U_n}_n∈Nと置く。開被覆をV_n={xU_n|x∈X}と定める。ただしA,B⊂Gに対してAB={ab|a∈A,b∈B}、a∈G,B⊂Gに対してaB={ab|b∈B}とした。

eの近傍U_nをとる。Gは位相群であるから、U_mU_m^-1⊂U_nなるm>nが存在する。このmをk(n)と置く。a(1)=1、a(n+1)=k(a(n))とおき、W_n=V_a(n)とすれば、(W_n)は正規列となる。またこれは明らかに展開列。従ってAlexandroff-Urysohnの距離化定理よりGは距離化可能となる。◻︎

関連項目

• ウリゾーンの距離化定理
• Birkhoff-角谷の定理