カルダノの公式とは (カルダノノコウシキとは) [単語記事]

カルダノの公式とは、3次方程式の解の公式である。

概要

3次方程式は、一般的にax³+bx²+cx+d=0の形で書かれる。このxをa,b,c,dの式で表すことができれば、それが「解の公式」と言える。

この公式が発表されたのは16世紀のイタリア。カルダノという数学者が自身の出版の中に記載したため、この名前がつけられている。しかし、解法については彼が独自に編み出したものではなく、先に解いていたデル・フェロやタルタリアから聞き出したものを元にしている。

式

ただし、p=(-b²+3ac)/3a²,q=(2b³-9abc+27a²d)/27a³,ω=(-1+i √3)/2,kは整数。
第2項は-p/3を第1項で割っても求められる。

pとqの式は覚えようとするとかなり複雑なので、実際に解く際には、x=y-b/3aを代入し、y³+py+q=0の形にするほうが早い、かもしれない。

例題

x³-3x²+2=0を、カルダノの公式を用いて解け。

解答

x=y+1とおくと、(y+1)³-3(y+1)²+2=0
展開して、y³-3y=0
よって、p=-3,q=0
カルダノの公式を用いると、(k=0のときの)第1項は、³√(√-1)=-i
-p/3=1より、第2項は1/(-i)=i
よって、x=-i+i+1,-ωi+ω^-1i+1,-ω²i+ω^-2i+1
したがって、x=1,1±√3

虚数の発見

前述した例題のように、実数解を求める際にも、計算過程で虚数が現れるのである。「負の数の平方根」については、2次方程式を解く際にも出現するが、その時代からずっと「あり得ないもの」として扱われていた。しかし、カルダノの公式によって、実数という「あり得るもの」を求めるのに「あり得ないもの」を用いるという、当時の人々には到底理解しがたい結果がもたらされた。否定的な声が多かったと思われるが、その「あり得ないもの」について今一度考えるきっかけにもつながり、現代では電気工学をはじめとした様々な分野に応用されている。