立方根

立方根とは、累乗根の一種。ある数に対して「3乗してその数になる」ような数である。3乗根とも言う。

概要

体積がわかっている立方体があるとする。この立方体の1辺の長さを求めるにはどうすればよいか。立方体の体積は、1辺の長さを3乗すれば求めることができる。よって、この逆の対応を考えればよい。つまり、3乗して体積の値になる数を求めればよいのである。このときの、体積から1辺の長さへの対応が立方根なのである。

定義と性質

aの立方根とは、b³ = aを満たすbのことである。

実数の立方根は、必ず実数の範囲内に立方根がただ1つ存在する。

実数aに対し、aの立方根で実数になるものをaの実立方根と呼び、³√aと書く。

実数a,bに対し、³√a׳√b = ³√(ab)が成り立つ。

求め方

ここでは、実立方根の求め方を、手間のかからない順に紹介する。ちなみに、定規とコンパスによる作図は不可能。

関数電卓を使う

1. 立方根を求めたい数を入力する。
2. 「³√」を押す(もしくはそれに相当する機能を使う)。

Googleを使う

1. 立方根を求めたい数を検索窓に入力する。
2. 続けて、「^(1/3)」と入力する。
3. 検索ボタンを押す。

計算尺を使う

1. K尺の、立方根を求めたい数に目盛りを合わせる。
2. D尺の、目盛りが指している値を読む。

紙と鉛筆を使う

「開立法」の記事を参照。

虚立方根

0以外の実数の立方根には、虚数となるものも存在する。そのような立方根を虚立方根という。

まず、1の虚立方根から考えてみよう。1の立方根は、x³ = 1の解である。これを実際に解くと、x = 1,(-1±i√3)/2である。このことから1の虚立方根は(-1±i√3)/2であることがわかる。記号では片方をωと書く。するともう片方はω²となる。一意的な表し方ではないが、ωとω²はたいていセットで出てくるので、その場合の結論は一意的になる。どうしても区別する必要がある場合はω = (-1+i√3)/2とすることが多い。

一般に、実数aの虚立方根は、ω・³√a,ω²・³√aとなる。実立方根とまとめてω^k・³√a (kは整数)と書くこともある。

複素数の立方根

立方根は実数に限らず、複素数にも存在する。0以外なら必ず3つある。

複素数を極形式でr∠θ(= re^iθ)と表すと、その立方根の1つは³√r∠(θ/3)となる。あとの2つは、それにωとω²を掛けたものである。詳しく書くと次のとおり。作図不可能とは、定規とコンパスのみで作図できない、という意味。右図は6.の段階の図である。

1. 座標平面を用意する。
2. 立方根を求めたい数の実部をx座標、虚部をy座標にとる。
3. 2.でとった点と原点を結ぶ。
4. x軸の正の方向と、3.で求めた線分とのなす角を3等分する(作図不可能)。
5. 3.で求めた線分の長さの実立方根を求める(作図不可能)。
6. 4.で求めた3等分線のうち、x軸の正の方向から反時計回りに見て、先にあるほうの線上に、原点から5.の長さだけ離れている点を求める。
7. 6.で求めた点を、原点を中心に120°回転した点、さらに120°回転した点をとる。
8. 6.と7.で求めた点それぞれについて、x座標を実部、y座標を虚部とする複素数を求める。

関連項目

• 数学
• 平方根
• 累乗根