七円定理

初等幾何学において七円定理とは、接する７つの円に関する定理である。

内容

円O₀上に異なる6つの点A₁,...,A₆がある. 各点A_iでO₀に接する円O₁,...,O₆があり, i=1,...,6についてO_iはO_i-1とO_i+1に接するとする.

このとき, ３本の直線A₁A₄, A₂A₅, A₃A₆は一点で交わる.

ここで各点A_iに接する円は, 直線も半径無限大の円と見なせるので直線でも良いし, 内接でも外接でもどちらでも良い.

証明

チェバの定理によれば, (A₁A₂/A₂A₃)*(A₃A₄/A₄A₅)*(A₅A₆/A₆A₁)=1が示せれば良い.

O_i(i=0,1,...,6)の中心をX_i, 半径をR_iと置き, ∠X_iX₀X_i+1=θ_i(i=1,...,6)と置く. ただし円が外接するときはR_i<0と考え, 直線のときはR_i=∞と考える. このときA_iA_i+1=2R₀sin(θ_i/2)なので, よって

　☆　(sin(θ₁/2)/sin(θ₂/2))*(sin(θ₃/2)/sin(θ₄/2))*(sin(θ₅/2)/sin(θ₆/2))=1

が示せれば良い. 

余弦定理より

　cosθ_i=(X₀X_i²+X₀X_i+1²-X_iX_i+1²)/(2*X₀X_i*X₀X_i+1)

　=((R₀-R_i)²+(R₀-R_i+1)²-(R_i+R_i+1)²)/(2(R₀-R_i)(R₀-R_i+1))

　=1-2R_iR_i+1/((R₀-R_i)(R₀-R_i+1))

となる. ここで半角公式よりsin(θ/2)=√((1-cosθ)/2)なので

　sin(θ_i/2)=√((1-cosθ_i)/2)=√(R_iR_i+1/((R₀-R_i)(R₀-R_i+1)))

となる. これを☆の左辺に代入すれば明らかに1になるので, 以上より示された.

逆

この定理は逆も成立することが知られている. つまり, ある円上の６点A₁,...,A₆がA₁A₄, A₂A₅, A₃A₆が一点で交わるようにとってあるとき, 各点A_iでO₀に接する円O₁,...,O₆で, i=1,...,6についてO_iがO_i-1とO_i+1に接するようなものが存在する. これはO₁を半径1として順番に接していく円を書いたときにO₆がO₁と接するということが示せれば良いが, 上の証明から逆算してR_iを求めていけばすぐわかる((A₁A₂/A₂A₃)*(A₃A₄/A₄A₅)*(A₅A₆/A₆A₁)=1からこれが従うのである).

関連項目

• 数学
• 幾何学