対偶とは、「裏」の「逆」である。
「AならばBである」の対偶は、「BでないならAでない」である。重要なのは前者と後者が同値ということである。すなわち前者が真なら後者も真、前者が偽なら後者も偽である。
「パンツじゃないから恥ずかしくないもん!」の対偶は「恥ずかしいからパンツだもん!」となる。
無論前者と後者は同値だが、真偽の証明は各人にゆだねることとする。あるいは前件否定の記事を参照のこと。
→ 命題 参照
「AならばBである」とき、BであるにはAであれば十分であるから、AはBであるための十分条件であるという。また、Aであれば必ずBであるということは、BでなければAではありえない。つまり、AであるためにはBであることが必要なので、BはAであるための必要条件であるという。
「AならばBである」かつ「BならばAである」とき、AはBの必要条件でもあり十分条件でもあることから、AはBの必要十分条件であるという。このときBもAの必要十分条件である。
この場合、AもBも表現は違えど、同じ状態を表現しているのであり、「AとBは同値である」ともいう。同値を英語でいうと、equivalenceであるが、equiの部分はequal(等しい)と、valの部分はvalue(値)と同じ語源である。この場合のvalue(値)というのは、単純な数値のことではなく「状態を評価(evaluate)した結果」のことを指していると思われる。
「AならばBである」の裏は「AでないならばBでない」である。「AならばBである」の逆は「BならばAである」である。
ここで注意しなければならないのは、「AならばBである」が真であっても、「裏」や「逆」は「必ずしも」真ではないということである。「AならばB」のときに、逆が真であるかどうかは、AでなくてもBの場合があるかどうかにかかっている。
この点に関する誤りは「=」の記事が詳しい→ 「=」
「裏」や「逆」とは真偽が一致しなくても、「裏」の「逆」である対偶とは真偽が一致する。ちなみに、「裏」と「逆」は対偶の関係にあるため真偽が一致する。
掲示板
33 ななしのよっしん
2019/09/11(水) 00:03:48 ID: 5V6fsduZmy
あの文意は「パンツじゃなくてズボンだから恥ずかしくないもん!」であるためそこをくみ取った対偶は「恥ずかしいならズボンじゃないもん!」である
なお「恥ずかしいからパンツだもん!」の対偶は「パンツじゃないなら恥ずかしくないもん!」となる
たった1字違いだがパンツ以外ならどんな衣装だろうと全裸だろうとみじんも恥ずかしがらないド変態だ
「AならばB」と「AだからB」はどっちもA→Bと表しがちだけど論理学で言うところのA→Bは「ならば」の方だけだから気をつけようね
34 ななしのよっしん
2021/09/13(月) 07:11:28 ID: /uEoCJyCTx
実はフェルマーの最終定理の証明の一部に使用されていたりする
フェルマーの最終定理が成り立たない→谷山=志村予想が成り立たない
ことが証明できたので、その対偶たる
谷山=志村予想が成り立つ→フェルマーの最終定理が成り立つ
が示せた。後年谷山=志村予想が成り立つことを示せたので…
35 ななしのよっしん
2023/10/02(月) 23:54:22 ID: DA1q0Rf4id
人がなんか言ってるといつもその対偶は何かと考えてしまう
急上昇ワード改
最終更新:2024/05/15(水) 02:00
ウォッチリストに追加しました!
すでにウォッチリストに
入っています。
追加に失敗しました。
ほめた!
ほめるを取消しました。
ほめるに失敗しました。
ほめるの取消しに失敗しました。