ε-δ論法

ε-δ論法とは、解析学において極限を厳密に定義する時に用いられる方法である。

定義

高校で用いられる極限式は以下のものだった。

　　lim_[x→a] f(x)=b

「関数fにおいてxがaに限りなく近づく時、答はbになる。」程度の意味合いだったはずである。
これをε-δ論法においては…

　　∀ε＞0,　∃δ＞0　s.t.　∀x∈R, 0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-b|＜ε

と定義し、文章での定義は以下の通り。

「任意の正の数εに対し、ある適当な正の数δが存在して、0＜|x−a|＜δ　を満たす全ての実数xに対し、|f(x)−b|<ε　が成り立つ。」

直感に訴える式ではないので理解出来ない人も大勢おり、
「大学数学についていけるかついていけないかはここが境目」と言う人も少なくはない。

何故嫌われる？

　　∀ε＞0,　∃δ＞0　s.t.　∀x∈R, 0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-b|＜ε

高校数学ではこの様な述語論理を取り扱う機会は少ないので、大学数学まで手を出すド変態計算好きでもない限り意味が不明である。

また、高校数学の問題は様々な公式や定理を駆使して解を導く所謂「パズル問題」であったが、この論法を使いこなすのに求められるのはとにかく「理解度」である。高校数学のノリを大学数学に持ち込み出鼻を挫かれる大学生は少なくない。

現実に「これを教えて数学への好奇心、勉強意欲が無くなってしまうなら教えない方がいいのでは…」と自粛してしまう数学教授や教師もいる。しかしながら、反対に極限や微積分についての理解を深める為にこの論法が不可欠という意見もあるのが現実だ。

実際、高校までの「直感的な説明」では数学的に説明し辛い事が多々ある。
「数列{x_n}がaに収束する時、(x₁+x₂+…x_n-1+x_n)/nは一体どうなるのか？」等は最たる問題ではないだろうか。
その為、この様な問題に立ち向かうには計算に使える厳密な定義が必要なのだ。

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逆に言えば、この論法を理解する事で解析学や微積分、連続と一様連続の違いや一様収束等、見えてくるものが様々ある。改めて無限小・無限大を認識しよう。

論法の「形」を見る

　　∀ε＞0,　∃δ＞0　s.t.　∀x∈R, 0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-b|＜ε

「そんで、なんなんこれは」と言いたくなるこの式だが、勿論ただ数学者が嫌がらせの様に記号を並べてる訳じゃなく、意味があっての論理式である。記号１つ１つに意味があり、その記号の組合せが文章となり定義となる。
初歩的な述語論理の読み方は「∃」の記事で取り扱っているので是非読んでほしい。

左から順に解読していこう。

　　∀ε＞0　　⇒　すべての数・イプシロン・０より大きい　⇒　全ての、０より大きい数ε　⇒　任意の正の数ε

　　∃δ＞0　　⇒　ある数・デルタ・０より大きい　⇒　ある、０より大きい数δ　⇒　適当な正の数δ

合わせて読めば、「任意の正の数εに対して、ある正の数δが存在する」となる。これがこの論法での主人公２人の紹介文である。「s.t.」を飛ばして続きを読もう。

　　∀x∈R　　⇒　すべての数・エックス・属する・実数　⇒　実数に属する全ての数x　⇒　全ての実数x

ここで、0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-b|＜ε　を　A⇒Bと略す事にする。意味は「AならばB」だ。
xはA⇒Bについての詳細記述みたいなもので、合わせて「Aを満たす全ての実数xに対してBが成り立つ」となる。

また、s.t.は "such that" の略で、「P s.t. Q」の意味は「Qとなる様なP」である。
ここまでを全部繋げると、∀ε＞0,　∃δ＞0　s.t.　∀x∈R, A⇒B　の意味は

「Aを満たす全ての実数xに対しBが成り立つような任意の正の数εに対するある適当な正の数δが存在する」

なのだが、読みにくいので前後をひっくり返し

「任意の正の数εに対してある適当な正の数δが存在するとき、Aを満たす全ての実数xに対してBが成り立つ」

とする。砕けた言い方をすると

「どんなプラスの数εがあっても、うま～くプラスの数δを取れば、Aが成り立つ実数xではBも成り立つんやで。」

う～ん、なんとなく感じ取れたのではないだろうか？
これはあくまで形だけなので、「つまりそういう物だな！」という外殻さえ掴み取れれば十分である。

論法の「例」を見る

ここではs.t.の前文を取っ払って　∀x∈R, 0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-b|＜ε　の意味を考えていこう。
前章の「Aを満たす全ての実数xに対してBが成り立つ」にそのまま当てはめてみると

「0＜|x-a|＜δ を満たす全ての実数xに対して |f(x)-b|＜ε が成り立つ」となる。

何かいまいちイメージが掴み辛くないだろうか。そこでa、b、関数fを決める為に以下の例を示す。

　　lim_[x→2]　f(x) = x² = 4

最初の章の定義と見比べてもらうと分かるだろうが、a=2、b=4、f(x)=x²　となる。
改めてこれを先程の文章に当てはめてみると…

「0＜|x-2|＜δ を満たす全ての実数xに対して |x²-4|＜ε が成り立つ」

それっぽい文章が完成したが、相変わらずこのδとεのイメージが分かりづらい。
しかも紹介される時とは前後が逆になってるのが困惑を加速させている。

先程「εとδはこの論法における主人公」と記したが、それならばこの２人には折角なので会話してもらおう。

適当な数δ「やぁ、イプシロン。」

任意の数ε「ご機嫌麗しゅう、デルタ。」

δ「今の君はいくつなんだい？」

ε「今の私は4でございます。」

δ「そうか、ではそれに対して私は0.5を取らしてもらおうかな。」

ε「問題ありません。それでは御機嫌よう。」

δ「また会う時まで。」

今、任意の数εが4なのに対して適当な数δは0.5を取った。
勿論これはδがてきと～に考えて1を取った訳ではなく、キチンと考えて1を取ったのだ。

では実際に当てはめてみよう。

「0＜|x-2|＜0.5 を満たす全ての実数xに対して |x²-4|＜4 が成り立つ」

0＜|x-2|＜0.5を解くと1.5＜x＜2.5である。　|x²-4|<4の正の解は0＜x＜2.82…=√8なので、前のxを全て内包している。つまり、∀x∈R, 0＜|x-2|＜1 ⇒ |x²-4|＜6　は成り立った。

論法で「収束」を見る

前章と同じく∀x∈R, 0＜|x-2|＜δ ⇒ |x²-4|＜ε　で見ていこう。

適当な数δ「やぁイプシロン。昨日の君は6だったね。今日はいくつだい？」

任意の数ε「今日の私は1でございます。」

δ「随分と小さくなったね。では私は0.2を取ろう。」

ε「問題ありません。それでは御機嫌よう。」

0＜|x-2|＜0.2　を解くと1.8＜x＜2.2である。　|x²-4|<1の正の数の解は√3＝1.73…＜x＜2.24…=√5なので、前のxを全て内包している。つまり、∀x∈R, 0＜|x-2|＜0.2 ⇒ |x²-4|＜1　は成り立った。

適当な数δ「やぁイプシロン。今日はいくつだい？」

任意の数ε「本日は、10のマイナス10乗、つまり1/(10¹⁰)でございます。」

δ「……成程。では私は10のマイナス100乗、1/(10¹⁰⁰)を取ろう。」

ε「依然問題無く。今後とも永いお付き合いを。」

0＜|x-2|＜1/(10¹⁰⁰)　を解くと1.999…＜x＜2.000…である。　|x²-4|<1/(10¹⁰)の正の解は√39999999999/10⁵≒1.99…997＜x＜2.00…003≒√40000000001/10⁵なので、前のxを全て内包している。つまり、∀x∈R, 0＜|x-2|＜(1/10¹⁰⁰) ⇒ |x²-4|＜(1/10¹⁰)　は成り立った。

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この様に、任意の数εがどのように小さい数を取ろうとも、
適当な数δを取る事で　∀x∈R, 0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-b|＜ε　を成り立たせる事が出来る。

そしてεが任意にとてもとても小さな数を取ったとしても_{（∀ε＞0なので0ではない）}、それに応じて適当な数δも極めて小さな数になっていくのが分かる。そしてその時、0＜|x-a|＜δ_{（極めて小さい数）}において|x-a|は0に近づいていくだろう。

これはまさに　lim_[x→a] f(x)=b　において、xはaに限りなく近づき、f(x)はbに収束していく様子を表しているだろう。
「無限大」や「無限小」なんて曖昧な言葉を使わずに極限・収束を説明できるε-δ論法はまさに厳密な定義そのものだ。

　　∀ε＞0,　∃δ＞0　s.t.　∀x∈R, 0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-b|＜ε

「任意の正の数εに対し、ある適当な正の数δが存在して、0＜|x−a|＜δ　を満たす全ての実数xに対し、|f(x)−b|<ε　が成り立つ。」

論法で「収束」を証明する

εとδがお互いにどの様な関係で動いているかが感じ取れた所で、数学的に収束を証明してみよう。ポイントは「目標をしっかり認知する」「εが任意の正の数であるという事を最大限利用する」である。
試しにn→∞の時、1/n→0に収束する事をを証明してみよう。
（数学の習慣上、δを別の文字に置き換えるのが相応しいが、混乱を防ぐ為あえてしない。）

lim[n→∞] 1/n = 0 を証明せよ。

　　[証明]

ε-δ論法より、次の式が与えられる。

　　∀ε＞0, ∃δ　s.t.　n＞δ ⇒ |1/n-0|＜ε　　　(*)

(*)を証明する事が命題の証明となる。
[目標]　(*)が成り立つ事の証明

　　δ=1/ε　となる様にδを取ると、　n=(1/ε)+1, (1/ε)+2, (1/ε)+3, …　となり、

　　1/ε＜n　なので両辺にε/nをかけると　1/n＜ε　．

Q.E.D

説明

まず、何故命題から(*)が与えられるのかを説明する。

∀ε＞0, ∃δ　s.t.　n＞δ ⇒ |1/n-0|＜ε　　　(*)

命題を言葉で説明すると「nが無限大に大きくなる時、1/nが0に収束する事を証明せよ。」である。
これを面倒臭く言い換えると「nがとある数よりも大きくなる時、1/nはどんな正の数よりも小さくなる事が示される様な「とある数」を探してくる」である。

さらにε-δっぽく言い直すと、「「n＞δの時、任意の正の数εにおいて1/n＜εが成り立つ」が成り立つ様なある数δが存在する事を示す」となる。意味が分からない？しかし言葉ではこう言うしかないのだ。
そして、それを述語論理で言うと(*)の様になる。

---

以前の様にεに数を当てはめて例を考えよう。会話はスペースがかさばるので省く。

　　ε=1　のとき　δ=1　とすると　n＞1　なので　1/n＜1=ε　．
　　ε=1/10　のとき　δ=10　とすると　n＞10　なので　1/n＜1/10=ε　．
　　ε=1/100　のとき　δ=100　とすると　n＞100　なので　1/n＜1/100=ε　．

これらの例から「δ=1/ε　と置けば　1/n＜ε　が成り立つのでは？」と考えられる。その証明が上記の証明下3行。

論法で「一様連続」を見る

ここでは「一様連続」についても説明していく。連続と一様連続の定義については以下の通り。

連続の定義

視覚的に言えば、関数のグラフが繋がっていて切れ目がない時に連続という。
数学的に言えば、関数値f(a)と極限値lim[x→a]f(x)が共に存在し、一致する時f(x)はx=aで連続である。という。
また、∀ε＞0,　∃δ＞0　s.t.　∀x∈R, 0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-f(a)|＜εが成り立つ時も同様に点aで連続である。と言える。

例

y=x　…　全て実数xにおいて連続である。

y=1/x　…　f(0)において値が定まらないので、x=0で連続でない＝不連続である。

y=|x|　…　x→0において右極限と左極限が一致せず、極限値が存在しないので不連続である。

一様連続の定義

言葉で説明すると、任意の正の数εに対して適当なδを決めると、関数f(x)の区間Iに属するどんなxを2つ取っても（x₁とx₂とする）|x₁-x₂|＜δ　ならば　|f(x₁)-f(x₂)|＜εが必ず成り立つ時、関数fはIにおいて一様連続である。という。

　　∀ε＞0,　∃δ＞0　s.t.　∀x₁,x₂∈I, 0＜|x₁-x₂|＜δ ⇒ |f(x₁)-f(x₂)|＜ε　

また、f(x)が閉区間[a,b]で連続ならば、f(x)はその閉区間[a,b]で一様連続である。
（開区間(a,b)では

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「これってさっきまでのε-δ論法とどう違うねん」と言いたくなるだろう。
先程まではεをドンドン小さくすると理解しやすかったが、一様連続においてはεを固定してしまうと理解しやすい。

任意の正の数εを最初に与えておいてa点とb点で同じδが通用するか？と考える。
例えば1/xのグラフにおいて、区間は開区間(0,∞)としよう。まずε=1を最初に与えて、a点をx=2、b点をx=1とする。a点においては次の事が言える。

　　δ=1　とすると　|x-2|<1　⇒　|1/x-1/2|<1

これは明らかに成り立つ。ではδ=1のままb点では通じるだろうか？

　　|x-1|<1　⇒　|1/x-1|<1

こちらは　0≦x≦1/2　において成り立たない。これはεを他の値にしてもxをドンドン小さくすれば同じ事が起きる。
つまり、1/xは任意の正の数εに対して適当なδを取り、それを固定してしまうと全てのxでε-δ論法が成り立つとは言えないので、1/xは(0,∞)において一様連続でない。という事が言える。

対して、f(x)=2xではεを最初に与えて　δ=ε/2　と与えればどの様なxにおいても成り立つ。
なのでf(x)=2xは無限区間(-∞,+∞)において一様連続であると言える。

どういう意味？

つまり一様連続とは、xの変化量に対するyの変化量を見ている。
0＜|x₁-x₂|＜δ とはxの変化量、 |f(x₁)-f(x₂)|＜ε　とはf(x)=yの変化量。

先程の1/xと2xの違いは、変化量がおとなしいか激しいかである。
2xはd(2x)/dxがconstantなので変化量を簡単に予測する事ができる。ところが、1/xはd(1/x)/dxが0の近くで急激に上下する。つまりεとδをxに合わせてその都度変更しなければならない。

同様にして、sinx・cosxも変化量が1から-1の間なのでおとなしい部類だが、x²はxが0より離れれば離れる程変化が著しい（εとδを最初に与えても、ドンドンxが増加していけばいつかδが対応しなくなってしまう）ので、一様連続ではないのだ。

例

• sinx, cosx, 1/x[1,∞)　…　一様連続である。
• tanx(-π/2,π/2), 1/x(0,1]　…　連続だが一様連続でない。

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今回、出来る限りε-δ論法を多くの人に理解してもらう為にかなり砕けた説明を筆者はしたつもりだ。
他にも一様収束、コーシーの収束条件等も説明出来るのだが、ここで一旦区切りを入れるとする。　_{誰か続き書いて！}

解析学に関して、ε-δ論法は真に驚くべき効果を発揮するが、私の体力と知識はそれを書くには無さすぎる。

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関連項目

• 微分
• 積分
• ∞
• デデキントカット