オイラーの等式 単語

8件

オイラーノトウシキ

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オイラーの等式とは、eiπ+1=0である。

大きく書くと

eiπ+1=0

となる。eはネイピア数を表し、iは虚数単位を表し、π円周率を表す。1と0は日常生活でよく見かける1と0のそのものである。

概要

オイラーの公式が綺麗な形になった間である。

2003年に出版された『博士の愛した数式』にも登場する式。しかし、日常生活を送る上では、まず使わないし、何の役にも立たない式である。

この等式の凄いところ

数学の基本的な定数である e i π 1 0 がそれぞれ1回ずつ登場して完結しているところ。やたら形がシンプルであるところ。そのため、いかにこの式が美しくて凄いのか、数学マニアらせるとやたら長くなることがある。

この式は、あれこれ難しく考えてきたことの結果が、実はこんな簡単に表現できるのでした、という例の最たるものといえる。

ちなみに、円周率π(円の直径に対する円周の)の代わりにτ(円の半径に対する円周の)という概念を導入すると、eiτ=1とさらに簡素に表現できる。

オイラーの公式

指数関数ex=exp(x)は虚数単位iを通して三角関数cos(x)およびsin(x)で表現できる。

eix=cos(x)+isin(x)

これをオイラーの公式と呼ぶ。オイラーの公式にπを代入したものがオイラーの等式となる。
逆にいうとオイラーの等式を一般化したものがオイラーの公式である。
微分方程式を駆使する分野で頻出し、指数関数三角関数を結ぶ重要な公式として重宝される。
日常的に使う人は少数だが、この記事の読者の使っている箱を設計する過程で避けては通れないとっても大事な公式なのだ。

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掲示板

  • 95 ななしのよっしん

    2022/04/06(水) 13:27:18 ID: U9PqBxhmn0

    1+e^(iπ)=0
    1とe^(iπ)が対になる感じが良い

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  • 96 ななしのよっしん

    2022/04/24(日) 13:08:15 ID: jGuSUO0F27

    シンプルで短い式なのに、ほんと集大成というか数学の中枢って感じがする
    0と1、代数のi、解析のe、幾何のπ
    レベル3までの基本的なハイパー演算(加算・乗算・冪乗)も全部入っている
    加算は+1なので見方によってはレベル0の後者も入っていると言えるだろう

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  • 97 ななしのよっしん

    2022/10/16(日) 21:24:47 ID: xtDCTCVx9O

    >>88
    θ=π/2にして右辺をiにすると更に応用が利く
    θ=π/4にして右辺を(1+i)/2にすると更に更に応用が利く
    θ=π/8にして...

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