オイラーの等式とは (オイラーノトウシキとは) [単語記事]

オイラーの等式とは、e^iπ+1=0である。

大きく書くと

e^iπ+1=0

となる。eはネイピア数を表し、iは虚数単位を表し、πは円周率を表す。1と0は日常生活でよく見かける1と0のそのものである。

概要

オイラーの公式が綺麗な形になった瞬間である。

2003年に出版された『博士の愛した数式』にも登場する式。しかし、日常生活を送る上では、まず使わないし、何の役にも立たない式である。

この等式の凄いところ

数学の基本的な定数である e i π 1 0 がそれぞれ1回ずつ登場して完結しているところ。やたら形がシンプルであるところ。そのため、いかにこの式が美しくて凄いのか、数学マニアに語らせるとやたら長くなることがある。

この式は、あれこれ難しく考えてきたことの結果が、実はこんな簡単に表現できるのでした、という例の最たるものといえる。

ちなみに、円周率 π（円の直径に対する円周の比）の代わりにτ（円の半径に対する円周の比）という概念を導入すると、e^iτ=1とさらに簡素に表現できる。

オイラーの公式

指数関数e^x=exp(x)は虚数単位iを通して三角関数cos(x)およびsin(x)で表現できる。

e^ix=cos(x)+isin(x)

これをオイラーの公式と呼ぶ。オイラーの公式にπを代入したものがオイラーの等式となる。
逆にいうとオイラーの等式を一般化したものがオイラーの公式である。
微分方程式を駆使する分野で頻出し、指数関数と三角関数を結ぶ重要な公式として重宝される。
日常的に使う人は少数派だが、この記事の読者の使っている箱を設計する過程で避けては通れないとっても大事な公式なのだ。