虚数単位とは (キョスウタンイとは) [単語記事]

虚数単位とは、-1の平方根のひとつである。記号はiまたは√-1であるが、電気工学等、電気を扱う分野では、電流との混同を避けるためにjが用いられることも多い。

概要

実数は、2乗すると必ず0以上となる。つまり、負の数の平方根は実数の範囲内には存在しない。そこで、-1の平方根を新たな「数」として導入し、そこから実数より広い意味での「数」の体系を構築した。これを複素数という。厳密には実数体Rに虚数単位iを添加して得られる体C=R(i)の元を複素数という。しかしわかりづらいので、高校ではa+biという形で表される数(但し、a,bは実数)を複素数と教えている。ここでのaを実部、bを虚部といい、b≠0のとき、a+biを虚数という。

代数学の基本定理

代数方程式は、必ず複素数に解をもつ、という定理。係数は実数でも複素数でも同値。2次方程式は判別式が負のときに実数解をもたないが、すべての方程式は複素数の範囲内で次数の分だけ解があることがわかる。アイはいかなる方程式も解き明かすのである。但し、それが代数的に解けるかは別問題。

オイラーの公式

実数の世界では別物として扱われてきた指数関数と三角関数に虚数単位を組み込むことで、それらが密接な関係にあることを表した式。

e^iθ=cosθ+i sinθ

θに円周率πを代入したオイラーの等式は、数学の3つの分野である代数学、幾何学、解析学においてそれぞれ代表的な定数i,π,eを簡潔な形で結びつけた式として特に有名。数学において最も美しい式とされ、博士の愛した数式にも登場する。

e^iπ+1=0

この式はe^(iπ)=-1としても全く同じことだが、加法単位元の0と乗法単位元の1という二つの特別な数が現れるところに美しさを感じよう。

iのi乗

e^{i (π/2+2nπ)}
=cos(π/2+2nπ) + i sin(π/2+2nπ)
= i

これの両辺をi乗する。

(e^{i (π/2+2nπ)})ⁱ=i ⁱ

ここから、次の結果が得られる。

i ⁱ=e^-(π/2+2nπ)

eの実数乗はすべて実数になる。-(π/2+2nπ)は実数である。つまり、iのi乗は実数になるのである。これはnによって無数の値をとるので、その代表としてe^(-π/2)がよく用いられる。これを実際に計算すると、約0.2となる。嘘だと思うならGoogle先生やWolfram Alpha先生に聞いてみよう。オイラーの等式は、三角関数と指数関数の関連性から導き出される式だが、iのみを使って表された最も簡単な累乗の形の数が数直線上に現れるなど誰が予測したであろうか。