τ(数学定数)

τ(タウ)とは、円に関する数学定数である。

概要

円周の半径に対する比。ある円の円周が、半径の何倍であるかを表す値である。

広く知られている円周率πは、円の直径に対する比である。
したがって、τ=2π=6.283...である。

一部の数学者が、円周に関する数学定数はτの方が自然であると主張している。

通常、数学で円を議論する際は半径を基本にすることが多く、直径は工学などを除けば円周率を決めるときぐらいしか出てこない。
円周はπを用いて表記すると2πrであるため、円が絡む数学公式には多くの場合係数2が書かれている。
τを用いれば、多くの公式が簡単に(そして主張者によれば「本質的に」)書けるという主張である。

「自然かどうか」「本質的かどうか」は感覚によるもので、数学の議論ではない。
また、πは古代ギリシャ時代から使われている定数であり、今更これを変えようという議論が支持を得ているわけではない。

πの代わりにτを使っても数学の性質が変わるものではないため、使いたいなら(断りを入れた上で)使えばよいし、それでは混乱するような場合は適宜πに置き換えればいいだろう。

τを用いた数学公式

角度をラジアン(弧度法)で表記したとき、「1周=τ」と表せるのが最大の利点である。

現在は高校の数学Ⅱで弧度法を学習するが、πが「半周」であることに違和感を覚えた人は多いだろう。
例えば、45°は1/8周なのに、πを使うと1/4πと表記しなければならない。

τを使えば、1/8周は1/8τであり、直感的である。

円周の長さ/扇形の弧の長さ

lを円周、rを半径とすれば

l=τr

l'を扇形の弧の長さ、θを中心角とすれば、

l'=θr

円周の長さを、係数を用いずに表すことができる。これは定義より明らかである。

扇形の弧の長さの公式はπを用いた場合と変わらないが、中心角が1/6τと表記されていれば「円周の1/6だから円周を6で割ればいいんだな！」と直感的な表記になる。

円の面積/扇形の面積

円の面積をSとすれば

S=(1/2)τr²

扇形の面積をS'とすれば

S'=(1/2)θr²

円の面積だけは、係数1/2をかけなければならない。

今のところこれが最もわかりやすいτへの反論であろう。

しかし、円の面積は円周の積分である。
1次式を積分しているのだから係数1/2がかかるのはむしろ自然ではないかという反論もできる。

小学校の教科書レベルの反論としては、面積の公式は多くの場合「÷2」があるので、今更1つ増えたぐらいで覚える手間はさほど変わりないといえる。
そもそも、算数の教科書をひもとけば、円の面積を導出する際、途中で「円の面積=半径×円周÷2」という表現が出てくる。これは、アルキメデスが導出した円の面積の公式と同じ表現であり、「なぜ円の面積がこの公式になるのか」を考える上ではこちらの方がより本質的である。

また、これらの公式は、円周/円の面積を中心角が360°(τ rad)の扇形と同じ形で表記することができる。公式の統一化ができるのである。

球の表面積、体積

球の表面積をSとすれば、

S=2τr²

体積をVとすれば、

V=(2/3)τr³

τr³は球に外接する円柱の体積、2τr²はその側面積なので、アルキメデスが導出した「球の表面積は、それに外接する円柱の側面積に等しい」「球の体積は、それに外接する円柱の体積の2/3である」という性質が係数として端的に示される。

係数が示すもの

τを用いると、他にも係数が示すものが分かりやすくなることがある。

具体的には、以下のような手順となる。

表面積

球の中心を通る直線を引き、球の表面との交点の一方を「北極」とする。以下地球のそれと同様に「緯度」「緯線」を定義する。

いま緯度θの緯線に沿って球を切断し、さらに緯度θ+dθで切断した輪切りを考える。この輪切りの側面を長方形と見なせば、縦rdθ、横τrcosθと表せる。よって、面積dSは以下のような式となる。

dS=τr²cosθdθ

よって、球の表面積Sは以下のような式で求められる。

S=2∫₀^(τ/4)τr²cosθdθ
  =2τr²[sinθ]₀^(τ/4)
  =2τr²

cosθの積分はsinθであり、sin(τ/4)=1なのでこの部分が綺麗に消える。
係数の「2」は半球から2倍した分であることが途中式からわかる。

体積

同様に、中心からの距離xの面で切断し、さらにそれに平行な距離x+dxの面で切断した輪切りを考え、これを円柱と見なす。

この「円柱」の底面積は半径√(r²-x²)の円のそれである。
高さをdxと置けば、体積dVは以下のようになる。

dV=(1/2)τ{√(r²-x²)}²dx

よって、球の体積Vは以下のように求められる。

V=2×(1/2)τ∫₀^r(r²-x²)dx
  =τ[r²x-(1/3)x³]₀^r
  =τ(r³-(1/3)r³)
  =(2/3)τr³

なぜ係数が2/3などという中途半端な数なのかと言えば、3行目に「1-(1/3)」が出てくるからで、この「1/3」は二次式を積分したからである。
τを用いると、円の面積の公式に登場する「1/2」が半球から2倍した分を相殺するので、これが端的に示される。

三角関数の周期

sin x, cos xの周期は、τ

tan x の周期は、τ/2

sinとcosは1周、tanは半周すると元に戻ることが端的に示される。

オイラーの等式

e^iτ=1

史上最も美しいといわれるオイラーの等式を、より簡潔に表記することができる。

これもτを導入する利点として挙げられるが、そもそもオイラーの等式は、オイラーの公式e^iθ=cosθ+isinθにおいて、偏角θに「キリのよい数」を代入したものであることを思い出そう。

θにπを代入した場合、偏角に「半周」を代入したことになる。
θにτを代入した場合、偏角に「1周」を代入したことになるので、より「キリがよい」。

すなわち、「偏角が1周だから、コサインは1でサインは0だな！」と納得しやすいのである。

ディラック定数

hをプランク定数とすれば、ディラック定数ℏは、

ℏ=h/τ

角周波数など、「1周」で割ったりかけたりするものは、係数2を省略できる。

ただし、クーロン力定数のように、2πにさらに係数がかかっている場合、あまり手間は変わらない。

プログラミング

プログラミング言語によっては標準でτが使える。

• C# (.NET Framework): Math.Tau (5.0から)
• Processing: TAU (3.0から)
• Python: math.tau (3.6から)
• Rust: Constant std::f32::consts::TAU、Constant std::f64::consts::TAU (いずれも1.47.0から)
• Java: java.lang.Math.TAU (19から)

関連動画

関連項目

• 数学
• 円周率 / π
• ラジアン
• オイラーの等式
• 6月28日 3月14日をπの日とするように、6月28日をτの日とする。

関連リンク

• τを使うことを主張した初めのオピニオン
• Tau day