Sierpinskiの不等式とは (シェルピンスキーノフトウシキとは) [単語記事]

Sierpinskiの不等式とは、数学において相加平均と相乗平均と調和平均に関して成り立つ以下の不等式のことである。

　A_n^n-1H_n ≧ G_nⁿ ≧ A_nH_n^n-1

ただしここでただしここで A_n,G_n,H_n はそれぞれ n 個の正の数 x₁,...,x_n の相加平均と相乗平均と調和平均である。

D.S.Mitrino vic と P.M.Vas ic による次の拡張がある。;

　A_n^n-1H_n/G_nⁿ ≧ A_n-1^n-2H_n-1/G_n-1^n-1 ≧ ... ≧ A₂H₂/G₂² = 1 ≧ ... ≧ A_n-1H_n-1^n-2/G_n-1^n-1 ≧ A_nH_n^n-1/G_nⁿ

証明

A_n^n-1H_n/G_nⁿ ≧ A_n-1^n-2H_n-1/G_n-1^n-1 だけでよい。A_n-1H_n-1^n-2/G_n-1^n-1 ≧ A_nH_n^n-1/G_nⁿ のほうは各 x_i を 1/x_i で置き換えれば前者に帰着される。

G_nⁿ = x_nG_n-1^n-1 , n/H_n = (n-1)/H_n-1 +1/x_n-1 に注意して整理すると

　A_n^n-1H_n/G_nⁿ ≧ A_n-1^n-2H_n-1/G_n-1^n-1　⇔　nA_n^n-1/A_n-1^n-2 ≧ x_nH_n-1*n/H_n = (n-1)x_n + H_n-1

　nA_n^n-1/A_n-1^n-2 = nA_n-1(A_n/A_n-1)^n-1 ≧ nA_n-1(1+(n-1)(A_n-A_n-1)/A_n-1) = n((n-1)A_n+(n-2)A_n-1)

　= n(nA_n-(n-1)A_n-1 - A_n+A_n-1) = n(x_n-A_n+A_n-1)

となるので、

　n(x_n-A_n+A_n-1) ≧ (n-1)x_n + H_n-1

を示せば良いが

　⇔　x_n+(n-1)A_n-1-nA_n + A_n-1 = A_n-1 ≧ H_n-1

両辺の対数をとって x_n の関数と見て極小値を求めても示せる。