数学的帰納法とは、自然数に関する命題を証明する方法のひとつである。
「すべての」自然数に関する命題を示す際、nを任意の自然数として証明する方法があるが、すべてが簡単にいくとは限らない。一方、1つずつ値を代入する方法をとると、自然数は無限個あるので有限回の手続きでは終わらない。数学的帰納法を用いれば、有限回の手続きで終了し、かつ比較的容易に証明できる。このことから非常に有用性の高い証明法としてよく使われる。
ある命題がすべての自然数nについて真であることを証明するには、次の2つが成り立つことを証明すれば十分である。
このとき
「n = 1, 2のときに真であることを証明して、n = k, k+1のときに真であるならばn = k+2のときにも真であることを示す」ことによっても、すべての自然数について真であることを証明できる。nが3つ以上の値に渡る場合でも同様のことが可能である。
また、「n = 1で真であることを証明し、n ≤ kのときに真であるならばn = k+1のときにも真になることを示す」というパターンもある。
⇒最終回を見るまで寝れない
数学的帰納法は、日常生活における事例には当てはまらないことがある。
有名な例は「すべての人間はハゲである」という理論の数学的帰納法による証明である。
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最終更新:2024/05/03(金) 14:00
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