数学的帰納法単語

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数学的帰納法とは、自然数に関する命題明する方法のひとつである。

概要

「すべての」自然数に関する命題を示す際、nを任意の自然数として明する方法があるが、すべてが簡単にいくとは限らない。一方、1つずつ値を代入する方法をとると、自然数限個あるので有限回の手続きでは終わらない。数学的帰納法を用いれば、有限回の手続きで終了し、かつ較的容易に明できる。このことから非常に有用性の高い明法としてよく使われる。

定義

ある命題がすべての自然数nについてであることを明するには、次の2つが成り立つことを明すれば十分である。

  • n = 0のときである。
  • n = kのときであるならば、n = k+1のときもである。(kは任意の自然数)

このとき

  1. n = 0のときである。
  2. n = 0のときであるので、n = 0+1 = 1のときもである。
  3. n = 1のときであるので、n = 1+1 = 2のときもである。
  4. n = 2のときであるので、n = 2+1 = 3のときもである。
  5. n = 3のときであr(ry

となるので、全ての自然数nに対してであることがわかる。

応用

「n = 1, 2のときにであることを明して、n = k, k+1のときにであるならばn = k+2のときにもであることを示す」ことによっても、すべての自然数についてであることを明できる。nが3つ以上の値に渡る場合でも同様のことが可である。

また、「n = 1でであることを明し、n ≤ kのときにであるならばn = k+1のときにもになることを示す」というパターンもある。

  • 「おっ、続き物の動画を発見したぞ。とりあえずパート1だけ見て寝よう」→1番動画を見る
  • k番動画を見る→「初めはこれ見たら寝ようと思ってたけど、続きが気になるな。よし、次の見たら寝よう」→k+1番動画を見る

最終回を見るまで寝れない

適用されない事例

極限

数学的帰納法はすべての自然数で適用できるが、nを無限大に持って行った場合、つまり極限には適用されない。以下の数列は再帰的に定義されているため数学的帰納法が適用できるが、その極限はさまざまである。

例1
S[1]=1/2
S[n+1]=S[n]+(1/2)n+1

例2
S[1]=0.1
S[n+1]=S[n]+0.1n+1

例3
a[1]=1.5
a[n+1]=a[n]/2+1/a[n]

例1、例2、例3はいずれも有理数の数列である。数学的帰納法からすべての自然数nで各項は必ず有理数になり、自然数無理数が現れる事はない。
しかし、各数列の収束する極限値は、それぞれ1(自然数)、1/9(有理数)、2(無理数)である。有理数有理数を何回足したり掛けたりしても有理数であることは変わらないが、限回の演算を施すとその限りではなくなる。
つまり、数学的帰納法は基本的に有限の自然数で成り立つ論法なのである。ある対に数学的帰納法が成り立つからと言って、その極限も同じ性質を持つとは言えない。そのため、極限とそれ以外の項の性質は全く独立考察しなければならない。

ハゲ頭のパラドックス

数学的帰納法は、日常生活における事例には当てはまらないことがある。
有名な例は「すべての人間ハゲである」という理論の数学的帰納法による明である。

⇒すべての人間ハゲである

 このパラドックス生してしまう原因はに2点ある。

  • 髪の毛が何本あればハゲなのか」というハゲ定義が作成されていないため。髪の毛が少なければもちろんハゲであるが、髪の毛の本数が多くても生え際が上の方に来ていればハゲと呼ばれるかもしれない。
  • 「少量の増加程度ではその現に大差はないだろう」という考えがあるため。この考えを採用してしまうと、数学的帰納法では「沢山の増加でも差はない」となり、大幅な増加において認識がずれてしまうことがある。

関連動画

関連項目

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掲示板

  • 45ななしのよっしん

    2017/05/13(土) 20:55:37 ID: 3KTkoSegMN

    「k」とはすなわち「毛」ということで、「k+1」は「毛+1」になってつまり毛2本しかないからハゲ
    「k+1=ハゲ」で了。

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  • 46ななしのよっしん

    2020/01/29(水) 12:55:03 ID: bLnfLvd7oE

    昨日の敵は今日の友って古い言葉があるけど
    今日の友は明日友達
    うさ永遠に

    めざせポケモンマスター」の2番が数学的帰納法っぽい

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  • 47ななしのよっしん

    2020/07/31(金) 00:26:43 ID: l86s2vXpO/

    ポケモンマスターは二人の距離感を位相とする間のε-N論法
    仲良くなって近づいたり傷つけあって離れたりしてもいずれ友達になる二人ならとある十分に大きな日数Nを持ってくればその日からはずっと友達

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最終更新:2023/03/29(水) 06:00

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