4つの4とは (ヨッツノヨンとは) [単語記事]

4つの4（Four fours）とは、4つの4と数学記号を使って、任意の数を作る数学パズルである。

概要

4つの4と、四則演算や数学記号を使い、目的の自然数を作るパズル。使える記号の個数に制限はないが、どの記号を使ってよいものとするかで自由度や難易度が異なる。また、4以外に使っていいのは記号のみで、πやeなどの定数は使わない。

1桁の数はすべて、四則演算と括弧のみ使って求めることができる。

0=4/4-4/4
1=4/4+4-4

2=4/4+4/4
3=(4*4-4)/4

4=4+(4-4)*4
5=(4*4+4)/4

6=4+(4+4)/4
7=4+4-4/4

8=4+4+4-4
9=4+4+4/4

10は、(44-4)/4のように数字を繋げたり、4*4-4!/4のように階乗などの数学記号を使ったりすることで作ることができる。

また、大きな数を作る際は、使える記号の種類を増やしたほうが自由度が上がり解きやすくなる。たとえば、ニコニコ動画やニコニコ大百科でおなじみの数2525は、総和の記号Σを使えば、Σ(4!*4+4)/√4=2525のように比較的容易に作ることができる。総和Σの計算方法については、次の「ルール」の節で述べる。

ルール

一般的に用いられる記号

四則演算（加減乗除）: 4-4*4/4=0のように、+, -, *, /の記号を使える。*は×と同じ乗算の記号、/は÷と同じ除算の記号。
括弧: (4+4-4)/4=1や(4-4/4)!-4=2のように、計算の優先順位を変える場合に使う。
小数点: 小数点を使って4.4のように表記できる。.4は、0.4を表す（0は省略される）。例：4/.4=4/0.4=10
循環小数: .4と表記し、その4の上に点を打つことで、循環小数0.444...を表す。この場合は4/9に等しい。循環節の表記法は、点を打つ以外に、循環節に下線を引く、循環節を括弧で挟むなど。例：4.4=4.(4)=4.444..., 4/.4=9
累乗（冪）: a^b：aをb回掛けた数。小さい上付き文字が使えない環境では、^を用いてa^b、または↑を用いてa↑bのように表記する。例：4⁴=4^4=4↑4=256
階乗: n!：1からnまでのすべての自然数の積。例：4!=1*2*3*4=24
平方根: √n：平方（2乗）するとnになる数。例：√4=2, √√√4^4!=4³=64

このほか、4同士を繋げて44や444として扱ってもよい。

用いられることがある記号

二重階乗: n!!：nが奇数なら、1からnまでのすべての奇数の積。nが偶数なら、2からnまでのすべての偶数の積。例：4!!=2*4=8, (4/.4)!!=9!!=1*3*5*7*9=945
総和: Σn：1からnまでのすべての自然数の和。省略された形で書かれる。n?と書かれることもある。急激に増加する階乗と異なり、緩やかに増えるため、ほどよく大きな数を作る際に重宝される。Σn=1+2+...+n、すなわち、Σn=n(n+1)/2である。例：Σ4=1+2+3+4=10, ΣΣΣ4=ΣΣ10=Σ55=1540
百分率（パーセント）: n%：n/100を意味する。例：4%=0.04, 4/4%=100
剰余（余り）: a%b：aをbで割ったときの余り。例：Σ4%4=10%4=2
ガウス記号（床関数）: [n]：n以下の最大の整数。小数点以下を切り捨てることと同じ。例：[√√4]=[1.414...]=1, [-√√4]=[-1.414...]=-2
ガンマ関数: Γ(n)：(n-1)!を意味する。例：Γ(4)=3!=6, Γ(Γ(4))=Γ(6)=5!=120

上記以外に、多重階乗、超階乗、累乗根（n乗根）なども用いられることがある。対数と平方根を制限なく用いれば、たとえば、n=-log₄(log₄√√√…√4)^√4ですべての自然数が表せる（√√√…√の部分に√がn個続く）。そのため、log（ln）は基本的に使われない。

解法

4つの4の解法を、分かりやすく丁寧に解説している動画（4つの4で1～100を作ろう）が投稿されているため、紹介する。

この動画では、一般的に用いられる記号のみ使用し、解法とともに1から100まで求めている。循環小数や階乗などの説明、基本的な考え方のほか、3乗の作り方、分母を揃えて4の数を減らすテクニックについて解説がある。

また、次の「参考」の節に、1つの4、2つの4で作成できる数をある程度まとめている。組み合わせればある程度の数は容易に作ることができる。

参考

1つの4と2つの4で表せる自然数のうち、3桁以内のものをいくつか掲載する。

「一般」には、一般的な記号で作ることのできる数を掲載している。
「総和」「ガンマ関数」「二重階乗」について、一般的な記号だけで作ることのできる数は除外してある。

1つの4

一般

2=√4
4
24=4!

総和

3=Σ(√4)
6=ΣΣ(√4)
10=Σ4
21=ΣΣΣ(√4)

55=ΣΣ4
231=ΣΣΣΣ(√4)
300=Σ(4!)
720=(ΣΣ(√4))!

ガンマ関数

1=Γ(√4)
6=Γ(4)
120=Γ(Γ(4))
720=(Γ(4))!

二重階乗

8=4!!
384=(4!!)!!

2つの4

一般

0=4-4
1=4/4
2=4/√4
3=√4/√.4
4=√4*√4
5=√4/.4
6=4!/4
8=4+4
9=4/.4
10=4/.4
12=4!/√4
16=4*4
20=4!-4
22=4!-√4
24=(√4*√4)!
26=4!+√4
28=4!+4
36=4!/√.4
44
48=4!*√4
54=4!/.4
60=4!/.4
64=√√√4^4!
96=4!*4
120=(√4/.4)!
256=4⁴
576=4!*4!
720=(4!/4)!

総和

7=Σ(√4)+4
11=ΣΣΣ(√4)-Σ4
13=Σ4+Σ(√4)
14=Σ4+4
15=Σ(Σ4/√4)
17=ΣΣΣ(√4)-4
18=√(Σ(4!)+4!)
19=ΣΣΣ(√4)-√4
21=Σ(4!/4)
23=ΣΣΣ(√4)+√4
25=Σ4/.4
27=Σ(√4)+4!
30=Σ(4!)/Σ4
31=ΣΣ4-4!
32=√(√4^Σ4)
34=Σ4+4!
40=Σ4*4
42=ΣΣΣ(√4)*√4
45=ΣΣ4-Σ4
49=ΣΣ4-ΣΣ(√4)
50=Σ(4!)/ΣΣ(√4)
51=ΣΣ4-4
52=ΣΣ4-Σ(√4)
53=ΣΣ4-√4
55=Σ(4/.4)
57=ΣΣ4+√4
58=ΣΣ4+Σ(√4)
59=ΣΣ4+4
61=ΣΣ4+ΣΣ(√4)

63=ΣΣΣ(√4)*Σ(√4)
65=ΣΣ4+Σ4
66=Σ(ΣΣΣ(√4)-Σ4)
69=Σ(4!)-ΣΣΣΣ(√4)
72=Σ(√4)*4!
75=Σ(4!)/4
76=ΣΣΣ(√4)+ΣΣ4
77=ΣΣΣΣ(√4)/Σ(√4)
78=Σ(4!/√4)
79=ΣΣ4+4!
81=(Σ(√4))⁴
84=ΣΣΣ(√4)*4
91=Σ(Σ4+Σ(√4))
100=√(Σ4)⁴
105=Σ(Σ4+4)
110=ΣΣ4*√4
116=ΣΣΣΣΣ(√4)/ΣΣΣΣ(√4)
126=ΣΣΣ(√4)*ΣΣ(√4)
136=Σ(4*4)
144=ΣΣ(√4)*4!
150=Σ(4!)/√4
153=Σ(ΣΣΣ(√4)-4)
154=ΣΣΣ4/Σ4
165=ΣΣ4*Σ(√4)
171=Σ(√(Σ(4!)+4!))
176=ΣΣΣΣ(√4)-ΣΣ4
180=(ΣΣ(√4))!/4
190=Σ(ΣΣΣ(√4)-√4)
200=Σ(4!)*√.4
以下省略。

備考

Four foursは、1881年に科学雑誌『ノレッジ』に掲載されたものであるが、1000までの自然数のうち、113、157、878、881、893、917、943、946、947の9つの自然数について、解は示されなかった。

これらは、たとえば総和Σの使用を認めると、Σ(Σ4+4)+4+4=113、Σ(4!-√4)-4*4!=157のようにして作ることができる。

なお、小数と循環小数を利用し、4!/.√4+√4/.4=113とした例がある（下線は循環節）。すなわち、.√4と表記することで循環小数0.222...=2/9を作り出している。ただし、小数点以下、循環節が純粋な数でないので、数学的には認められないと思われるものの、パズルとしては面白い発想だと言える。この方法を適用すれば、157なども作ることが可能。

そのほか、面白い式をいくつか掲載する。原則、一般的な記号のみ使用して作られたものを扱う。