1001単語

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1001とは、1000の次、1002の前の自然数であり、7×11×13で表される合成数である。

性質

• 素因数分解:7×11×13
  • 136番目の楔数（3つの異なる素数の積で表される数）
  • 直前の楔数は994、直後の楔数は1002
• 約数:1、7、11、13、77、91、143、1001の8つ
• 1桁を除く整数の中で100番目の回文数で4桁の数で最小の回文数

7×11×13を使う

上記の通り、「1001=7×11×13」であるが、これを用いることで「任意の1001の約数」の倍数(1,7,11,13,77,91,143,1001の倍数)の判定を次のように行うことができる。

判定を行いたい数を1000^kn_k+・・・+1000³n₃+1000²n₂+1000n₁+n₀とおくと、その数を「任意の1001の約数d」で割った余りは{(-1)^k-1n_k+・・・-n₃+n₂-n₁+n₀}をdで割った余りに等しい。

以下、それを証明する。(中学校までの範囲で理解できるように簡単な説明にしています。合同式が分かる人は前半部分(1000ⁿの部分まで)は橙色の文章だけで理解できると思います。)

証明

はじめに、1001より1だけ小さい1000について考える。1000は「1001で割って1000余る数」といえるが、ここでは「1001で割って-1余る数」と表現する。合同式で表現すると"1000≡-1 (mod 1001)"となる。

さらに、1000²すなわち1,000,000について考えたいのだが、その前に「nで割って-1余る数」同士の掛け算を考える。「nで割って-1余る数」2つをそれぞれnk-1,nl-1(k,lは整数)とおく。このとき、
(nk-1)(nl-1)=n²kl-nk-nl+1=n(nkl-k-l)+1
(nkl-k-l)は整数であるので、「nで割って-1余る数」同士をかけてnで割ると1余る。したがって、1000²を1001で割ると1余る。合同式で表現すると"1000²≡1 (mod 1001)"となる。

さらに、1000³について考えたいのだが、今度は「nで割って1余る数」と「nで割って-1余る数」の掛け算を考える。それら2つの数をそれぞれnk+1,nl-1(k,lは整数)とおく。このとき、
(nk+1)(nl-1)=n²kl-nk+nl-1=n(nkl-k+l)-1
(nkl-k+l)は整数であるので、「nで割って1余る数」と「nで割って-1余る数」をかけてnで割ると-1余る。ところで、1000³=1000²×1000と表すことができる。したがって、1000³を1001で割ると-1余る。合同式で表現すると"1000³≡-1 (mod 1001)"となる。

また、これ以降1000⁴=1000³×1000, 1000⁵=1000⁴×1000, ・・・と考えていくと今までの操作を繰り返すだけということが分かる。したがって、右のような表ができる。これも合同式で表現すると、"1000ⁿ≡(-1)ⁿ (mod 1001) (nは自然数)"となる。

ここで、「任意の1001の約数」の倍数かどうか判定したい数を次のように変形する。ただし、kは自然数、n_kは0以上999以下の整数、N_k,・・・,N₃,N₂,N₁は整数(ちなみに、それぞれの値はN₁=1,N₂=999,N₃=999001,N₄=999000999,・・・と具体的に求めることはできる)。
  1000^kn_k+・・・+1000³n₃+1000²n₂+1000n₁+n₀
={1000^k+(-1)^k-1}n_k+・・・+(1000³+1)n₃+(1000²-1)n₂+(1000+1)n₁+{(-1)^k-1n_k+・・・-n₃+n₂-n₁+n₀}
=1001N_k+・・・+1001N₃+1001N₂+1001N₁+{(-1)^k-1n_k+・・・-n₃+n₂-n₁+n₀}
=1001(N_k+・・・+N₃+N₂+N₁)+{(-1)^k-1n_k+・・・-n₃+n₂-n₁+n₀}
=7・11・13(N_k+・・・+N₃+N₂+N₁)+{(-1)^k-1n_k+・・・-n₃+n₂-n₁+n₀}

(N_k+・・・+N₃+N₂+N₁)は整数であるので、7・11・13(N_k+・・・+N₃+N₂+N₁)は1001の倍数であり、1001の約数で割り切れる。よって、任意の1001の約数dで割った余りは、{(-1)^k-1n_k+・・・-n₃+n₂-n₁+n₀}をdで割った余りに等しい。

実際に求めてみる

11234567799を例に計算をしてみる。
11,234,567,799であるから、799-567+234-11=455=5×7×13
すなわち、(1の倍数・)7の倍数・13の倍数・91の倍数であることがわかる。さらに、それ以外の任意の1001の約数について、例えば455を143で割ると26余ることから、もとの数も143で割ると26余ることがわかる。

ちなみに

11の倍数については、10を11で割ると-1余ることから上記の証明と同様に考えると、1桁区切りで同様の計算をすればよく、例えば、3576892は、2-9+8-6+7-5+3=0
これは11で割り切れることを表す。

関連項目

• 数の一覧
• 1001(2ちゃんねる) - 電子掲示板2ちゃんねるにおいて、スレッドが埋まったことを知らせるために自動的に付加されるレスのレス番。スレッドのレス上限が1000であるため。
• チオンジェン - ポケモンずかんの番号が1001であるため。
• 星野仙一 - 元プロ野球選手、監督。仙一→せんいち→1001の語呂合わせ。
• 10月1日 - 番号化で「1001」と表せる。

関連リンク

• 鯵坂もっちょのマスマティカル・ショッピング　〜1001チェック編〜（字幕版）

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