整数単語

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整数とは、0,1及びそこから加法構造で帰納的に得られる数の集合である。たく言えば、0、と+1,+2,+3...といった自然数、-1,-2,-3...という符号反転した数のこと。

現実世界実在物を数えるだけなら自然数で事足りるわけだが、自然数引き算(足し算の逆演算)が自由にできないため演算構造として対称性が悪い。そこで負の数の存在を保して足が出ないようにしたのが整数である。一応掛け算に付いても閉じているため、専門的には単位的可換環(加法群+可換乗法)ということになる。

いうまでもないが割り算自由にできないので、全な四則演算フリーではなく、よって整数は体ではない。

簡単な概要

整数とは、0, 1, 2, 3...や0, -1, -2, -3...のように、数字(0123456789)とプラスマイナスだけで表現される数のことである。分数や小数ではない数である。

リンゴミカンなどを数えるときは自然数(1, 2, 3...)で十分だけど、自然数だけで物事を考えると、2 - 5 = ?のように、引く数が引かれる数よりも大きくなったときに、引き算ができなくなってしまう。そこで、自然数に0とマイナスの数を加えた集合を整数とした。これによって、どんな引き算もできるようになる。

整数と整数を、足したり掛けたり引いたりしても、その結果は絶対に整数になる。なので、+、×、-を使った計算は整数の世界だけで説明することができる。

しかし、整数の世界÷を使った計算をすると、その結果が整数にならない事がある。そこで出てくるのが分数や小数であるが、それはまた別のお話。

負の数の乗法

ついでなので、負の数同士の積が正の数になることも説明しておく。

-1×-1=1

というこの式は、負の数自体が人工物である以上「そう決めたから」というのが答えなのだが、もちろん適当に決めているわけではない。

例えば会計処理で商品の販売数を1,2,3カウントするとする。もし商品の返品があった場合、その扱いは-1,-2,-3として折り込まれる。一つ辺りの利益が100円とするならば、販売個数毎に100円200円300円と総利益がカウントされ、逆に返品毎に-100円、-200円、-300円……と、ここまでの処理が妥当である事は分かるだろう。

では、実はこの商品は特価品で、1つ売れる毎に100円赤字が出るとしたらどうだろうか。この場合、商品が売れる毎に利益は-100円、-200円、-300円となり、返品される毎に(理論的には)100円200円300円のけがでることになる。マイナス×マイナスは確かにプラスを生んでいるのである。

負の数が当たり前のように使われるようになったのは割と最近で、かのオイラーですら「負の数は無限大より大きい」というな推論を行っていたりする。こういう基礎論に関わる問題は簡単なようで難しい。

証明

  • 1+a=0となる整数aを(-1)と書く。

1+(-1)=0

  • 両辺に右側から(-1)を掛ける。

1×(-1)+(-1)×(-1)=0×(-1)

  • 両辺に左側から1×1を足す。0×(-1)=0。

1+1×(-1)+(-1)×(-1)=1×1

1×(1+(-1))+(-1)×(-1)=1

  • 1+(-1)=0なので

0+(-1)×(-1)=1

  • 1×0=0なので

(-1)×(-1)=1 ■

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整数

16 ななしのよっしん
2011/07/03(日) 04:39:29 ID: TmiiEyksjd
>>15
>>13が書いた事理解してる?

何故、が反対するかというとね。
整数自然数から引き算を導入する為に構成されたものという項から負数の掛け算の話への自然な繋がりが、この記事のいい所だとは思った訳。
それを、負数の独立した項を一つ作るという事で、その繋がりを削除するのは如何なものかと思った訳。

いや、ID:0oalOLgDCN がどう編集するつもりなのかは分からないけどさ。この記事に要らないでしょみたいな強い言い方するから、全に削除するつもりなのかなと思ったのよ。

「詳しくはここへ」等の負数へのリンクを貼るなどして、全に削除するのでなければ、は別に良いよ。

あと、混乱する人は居ないと思うけどなぁ…
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17 ななしのよっしん
2011/07/03(日) 06:15:00 ID: 0oalOLgDCN
負数の記事作るとしたら、リンクは貼るつもりだけど、関連項目に加える程度よ。

自然な繋がりって言われても、いまいちピンと来ないんだよなぁ…。
引き算の導入や負の整数に関してきちんとした定義や説明がされていて、
かつそれを用いて負の数の掛け算解説してるならわかるけど。
実際、マイナスが何であるかの定義が書かれてないし、
負の数の乗法に関しては、独立した直感的な説明になってる。
はっきり言って繋がりは見えない。

それに、ここに来る人の全員全員
自然数整数有理数…といった数の拡まで気にしてないと思う。
負の数は正の有理数より後に習うんだから、
(省略しています。全て読むにはこのリンクをクリック!)
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18 ななしのよっしん
2011/07/03(日) 06:39:34 ID: TmiiEyksjd
>>17
そりゃ、きちんとした定義なんてやったら教科書になっちゃうよ。
でも、概略としては説明されていると思うけど。

公理的な構成と、概念現実への当てはめは元々独立した話では?
自然と言うのは話の流れというかさ…
構成と具体例(?)はセットであるべきだと思うんだよ。
どちらか一方だけだと意味が薄い。
これがの中心かな。

確かに全員が数の拡なんて難しい事を気にしてる訳じゃないね。
でも、気にしてないから要らないってのは変な気がする。
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19 ななしのよっしん
2011/07/03(日) 06:52:18 ID: TmiiEyksjd
これは蛇足で、多分個人的な意見に留まると思うけど。

数学ってのは抽的な論理体系じゃないし、逆に計算の規則の集合体でもい。その両方の間の繋がりが数学だとは思うのね。
具体例と抽の繋がりってのが非常に大切な訳よ。それが数学の理解に繋がっていくと思う訳。

ま、異論が沢山あると思うけどさ…
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20 ななしのよっしん
2011/07/03(日) 20:33:13 ID: 0oalOLgDCN
確かに。言いたいことはわかった。
ただ、現状では冒頭の解説が簡素すぎると思うんだ。
整数の演算についてもう少し詳しく加筆した上で、
「詳しくはここへ」ってリンクを貼ろうと思うけど、
それでもいいかい?
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21 ななしのよっしん
2011/07/06(水) 06:08:56 ID: TmiiEyksjd
は良いよ。
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22 ななしのよっしん
2016/07/15(金) 21:28:08 ID: ZS/YvFzaLc
9とか6/2とか3.0は整数なのだろうか?
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23 nの3乗
2016/09/08(木) 17:18:12 ID: Cx+vGSthyk
>>22
整数だと言えば整数なのではないでしょうかね
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24 ななしのよっしん
2016/09/08(木) 17:48:09 ID: 5PSh748b+E
式の値が整数という言い方をする
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25 ななしのよっしん
2016/10/23(日) 22:20:29 ID: 054cWB7gDU
>>1->>21までイチイチャしてて、5年間ドン引きされてたのか・・。
なかなか稀有なものをみた。
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